1. What is the average linear velocity from the beginning of motion to the stop for a particle moving in a circular

Valera_1900

58

Задача 1:
Для нахождения средней линейной скорости \(v_{сред}\) от начала движения до остановки частицы, движущейся по круговой траектории радиусом \(r = 3\) м, используя уравнение движения \(\varphi = 5 + 3t \cdot 0.1t^2\), рассмотрим следующие шаги:

1. Найдем полный угол поворота \(\Delta\varphi\), который частица совершает от начала движения до остановки. Для этого приравняем уравнение движения к \(2\pi\), так как полный угол поворота при полном обороте равен \(2\pi\):

\[\varphi = 5 + 3t \cdot 0.1t^2 = 2\pi\]

2. Решим уравнение для определения времени \(t\). Для этого приведем уравнение к квадратному виду:

\[0.03t^3 + 0.3t^2 - 2\pi = 0\]

Мы можем найти значение \(t\) с помощью численных методов или калькулятора и получим \(t \approx 2.0166\) секунды.

3. Теперь находим среднюю линейную скорость \(v_{сред}\) с использованием формулы:

\[v_{сред} = \frac{\Delta s}{\Delta t}\]

где \(\Delta s\) - длина дуги пути, пройденной частицей, и \(\Delta t\) - время, за которое частица проходит эту дугу. Длина дуги пути \(\Delta s\) можно найти, используя радиус круговой траектории \(r\) и угол поворота \(\Delta\varphi\):

\[\Delta s = r \cdot \Delta\varphi = 3 \cdot \Delta\varphi\]

Так как у нас уже есть значение \(\Delta\varphi\), мы можем подставить его в формулу и получим:

\[\Delta s \approx 3 \cdot 2.0166 \approx 6.0498\) м

4. Теперь можем найти среднюю линейную скорость \(v_{сред}\):

\[v_{сред} \approx \frac{6.0498}{2.0166 \approx 3.0\) м/с

Таким образом, средняя линейная скорость от начала движения до остановки частицы составляет около 3.0 м/с.

Задача 2:
Для определения давления \(p\), которое газ оказывает на стены контейнера, при заданной плотности \(\rho = 0.06\) кг/м³ и среднеквадратичной скорости молекул \(v = 500\) м/с, а также для нахождения количества молекул водорода \(n\) в единице объема контейнера при давлении \(p = 266.6\) Па, если среднеквадратичная скорость молекул составляет \(v = 2.6\) км/с, выполним следующие шаги:

1. Найдем давление \(p\) с использованием формулы:

\[p = \rho \cdot v^2\]

Подставим данное значение плотности \(\rho\) и среднеквадратичной скорости молекул \(v\) для первого случая:

\[p = 0.06 \cdot (500)^2\)

Выполняя вычисления, получим:

\[p \approx 15000\) Па

Таким образом, давление \(p\) равно примерно 15000 Па для заданного значения плотности и среднеквадратичной скорости молекул.

2. Для определения количества молекул водорода \(n\) в единице объема контейнера при давлении \(p\) второго случая, мы можем использовать формулу идеального газа:

\[p = n \cdot k \cdot T\]

где \(n\) - количество молекул водорода, \(k\) - постоянная Больцмана (\(1.38 \times 10^{-23}\) Дж/К) и \(T\) - температура в Кельвинах.

Мы можем переписать формулу для количества молекул:

\[n = \frac{p}{k \cdot T}\]

Поскольку у нас есть значение давления \(p\) и среднеквадратичной скорости молекул \(v\) во втором случае, мы можем найти температуру \(T\) с помощью формулы кинетической энергии:

\[K.E. = \frac{3}{2} k \cdot T\]

\[T = \frac{2}{3} \cdot \frac{K.E.}{k}\]

Подставим данное значение среднеквадратичной скорости молекул \(v\):

\[T = \frac{2}{3} \cdot \frac{(2.6 \times 10^3)^2}{1.38 \times 10^{-23}}\]

Произведем вычисления:

\[T \approx 1.56 \times 10^7\) К

3. Теперь можем найти количество молекул водорода \(n\):

\[n = \frac{p}{k \cdot T} = \frac{266.6}{1.38 \times 10^{-23} \cdot 1.56 \times 10^7}\]

Произведем вычисления:

\[n \approx 1.6 \times 10^{28}\) молекул/м³

Таким образом, количество молекул водорода \(n\) в единице объема контейнера при давлении \(p\) составляет примерно \(1.6 \times 10^{28}\) молекул/м³.

Задача 3:
Для нахождения изменения объема \(V\) кислорода с массой \(m = 2\) кг выполним следующие шаги:

1. Используем уравнение состояния идеального газа:

\[PV = nRT\]

где \(P\) - давление, \(V\) - объем, \(n\) - количество вещества, \(R\) - универсальная газовая постоянная, \(T\) - температура.

2. Мы можем переписать уравнение для количества вещества \(n\):

\[n = \frac{m}{M}\]

где \(m\) - масса, \(M\) - молярная масса газа.

3. Подставим эту формулу в уравнение состояния:

\[PV = \frac{m}{M}RT\]

4. Разделим обе части уравнения на массу \(m\):

\[\frac{PV}{m} = \frac{1}{M}RT\]

5. Объем \(V\) кислорода, который расширяется, изменяется в соответствии с уравнением:

\[V = \frac{mRT}{MP}\]

6. Подставим известные значения:

\[V = \frac{(2)(8.31)(T)}{(32)(P)}\]

где \(T\) - температура и \(P\) - давление.

Теперь у нас есть формула для определения изменения объема кислорода в зависимости от температуры и давления. Вычисления могут быть выполнены, когда заданы значения температуры и давления.