1. What is the distance traveled by the car after it went 10 km to the north and then 14.14 km to the southeast?

Дракон_3497

7

Очень хорошо! Давайте решим задачу по очереди.

1. Для решения этой задачи, нам нужно использовать понятие векторов. Вектор - это направленный отрезок, который имеет начало и конец. Одним из способов представления вектора является его компонентная форма. Мы можем записать вектор как сумму его горизонтальной и вертикальной компонент.

а) Первая часть задачи говорит о том, что автомобиль проехал 10 км на север. Это можно представить как движение вверх. Затем он проехал 14.14 км на юго-восток. Чтобы решить эту задачу, нам нужно найти горизонтальные и вертикальные компоненты перемещения автомобиля отдельно, а затем сложить их, чтобы получить итоговое перемещение.

Для первого этапа движения, горизонтальная компонента будет равна 0 (так как движения влево или вправо не было), а вертикальная компонента будет равна 10 км.

Для второго этапа движения на юго-восток, нам нужно разложить это движение на его горизонтальную и вертикальную компоненты. По диагонали мы имеем движение как влево (-14.14 км) и вниз (-14.14 км). Поэтому горизонтальная компонента будет равна -14.14 км, а вертикальная компонента также будет равна -14.14 км.

Теперь, чтобы найти итоговое перемещение автомобиля, мы просто складываем горизонтальные и вертикальные компоненты:

Горизонтальная компонента: 0 + (-14.14) = -14.14 км
Вертикальная компонента: 10 + (-14.14) = -4.14 км

Итак, после перехода автомобиля на 10 км на север, а затем на 14.14 км на юго-восток, его итоговое перемещение будет составлять -14.14 км по горизонтали и -4.14 км по вертикали.

б) Для определения величины перемещения автомобиля, нам нужно использовать теорему Пифагора, которая говорит о том, что квадрат гипотенузы треугольника равен сумме квадратов катетов. В нашем случае, горизонтальная компонента (-14.14 км) является одним катетом, а вертикальная компонента (-4.14 км) - другим катетом. Таким образом, мы можем использовать эти значения для вычисления итоговой величины перемещения.

\[d = \sqrt{{\text{горизонтальная компонента}}^2 + {\text{вертикальная компонента}}^2}\]

\[d = \sqrt{{(-14.14 \, \text{км})^2 + (-4.14 \, \text{км})^2}}\]

\[d \approx \sqrt{{199.9396 + 17.1396}}\]

\[d \approx \sqrt{{217.0792}}\]

\[d \approx 14.73 \, \text{км}\]

Таким образом, величина перемещения автомобиля после его движения на 10 км на север и затем 14.14 км на юго-восток составляет примерно 14.73 км.

в) Эта часть задачи связана с изменением горизонтальной компоненты перемещения автомобиля после поворота. Мы знаем, что автомобиль проехал 7.07 км после поворота. Он двигался вправо (положительная горизонтальная компонента), поэтому горизонтальная компонента изменится на +7.07 км.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для определения величины перемещения после поворота:

\[d = \sqrt{{\text{горизонтальная компонента}}^2 + {\text{вертикальная компонента}}^2}\]

\[d = \sqrt{{(7.07 \, \text{км})^2 + (-4.14 \, \text{км})^2}}\]

\[d \approx \sqrt{{49.9849 + 17.1396}}\]

\[d \approx \sqrt{{67.1245}}\]

\[d \approx 8.19 \, \text{км}\]

Итак, величина перемещения автомобиля после поворота составляет примерно 8.19 км.

2. Для решения этой задачи, мы можем использовать понятие векторных сумм. Перемещение каждой стрелки на часах можно представить вектором. Вычислив сумму этих векторов, мы сможем найти конечную позицию каждой стрелки.

а) После 6 часов на часах, часовая стрелка поменяет свое положение. Чтобы вычислить это новое положение, мы знаем, что часовая стрелка смещается на $\frac{1}{2}$ градуса в минуту. Таким образом, после 6 часов она смещается на $6 \times 30 = 180$ градусов. Вычислим горизонтальную и вертикальную компоненты перемещения часовой стрелки:

Горизонтальная компонента: ${\cos(180^\circ) \times 10 \, \text{см}} = -10 \, \text{см}$
Вертикальная компонента: ${\sin(180^\circ) \times 10 \, \text{см}} = 0 \, \text{см}$

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для вычисления расстояния между концами стрелки:

\[d = \sqrt{{\text{горизонтальная компонента}}^2 + {\text{вертикальная компонента}}^2}\]

\[d = \sqrt{{(-10 \, \text{см})^2 + (0 \, \text{см})^2}}\]

\[d \approx \sqrt{{100 + 0}}\]

\[d \approx \sqrt{{100}}\]

\[d \approx 10 \, \text{см}\]

Итак, после 6 часов на часах, расстояние между концами часовой стрелки составляет 10 см.

б) После 3 часов на часах, часовая стрелка снова меняет свое положение. Рассчитаем горизонтальную и вертикальную компоненты ее перемещения.

Горизонтальная компонента: ${\cos(90^\circ) \times 10 \, \text{см}} = 0 \, \text{см}$
Вертикальная компонента: ${\sin(90^\circ) \times 10 \, \text{см}} = 10 \, \text{см}$

Теперь вычислим расстояние между концами часовой стрелки:

\[d = \sqrt{{\text{горизонтальная компонента}}^2 + {\text{вертикальная компонента}}^2}\]

\[d = \sqrt{{(0 \, \text{см})^2 + (10 \, \text{см})^2}}\]

\[d \approx \sqrt{{0 + 100}}\]

\[d \approx \sqrt{{100}}\]

\[d \approx 10 \, \text{см}\]

Таким образом, после 3 часов на часах, расстояние между концами часовой стрелки составляет 10 см.

в) После 4 часов на часах, часовая стрелка снова меняет свое положение. Рассчитаем горизонтальную и вертикальную компоненты ее перемещения.

Горизонтальная компонента: ${\cos(120^\circ) \times 10 \, \text{см}} = -5 \, \text{см}$
Вертикальная компонента: ${\sin(120^\circ) \times 10 \, \text{см}} = 8.66 \, \text{см}$

Теперь вычислим расстояние между концами часовой стрелки:

\[d = \sqrt{{\text{горизонтальная компонента}}^2 + {\text{вертикальная компонента}}^2}\]

\[d = \sqrt{{(-5 \, \text{см})^2 + (8.66 \, \text{см})^2}}\]

\[d \approx \sqrt{{25 + 75.0756}}\]

\[d \approx \sqrt{{100.0756}}\]

\[d \approx 10.003 \, \text{см}\]

Таким образом, после 4 часов на часах, расстояние между концами часовой стрелки составляет примерно 10.003 см.