1) What is the probability that out of 1095 students at the faculty: a) exactly 2 students were born on April 4
1) What is the probability that out of 1095 students at the faculty: a) exactly 2 students were born on April 4; b) at least one student has a birthday on April 4?
2) The probability that a television will require repair within the warranty period is 0.02. Find: a) the most probable number k0 of televisions out of 200 that will not require repair within the warranty period and the corresponding probability P(k0); b) the probability that at least one television will require repair.
2) The probability that a television will require repair within the warranty period is 0.02. Find: a) the most probable number k0 of televisions out of 200 that will not require repair within the warranty period and the corresponding probability P(k0); b) the probability that at least one television will require repair.
Zolotaya_Pyl 6
Задача 1:a) Для решения этой задачи нам понадобится применить биномиальное распределение. Вероятность того, что один конкретно выбранный студент родился 4 апреля, равна \(\frac{1}{365}\), так как в году 365 дней. Соответственно, вероятность того, что выбранные два студента родились 4 апреля, будет:
\[P_2 = C_{1095}^2 \cdot \left(\frac{1}{365}\right)^2 \cdot \left(\frac{364}{365}\right)^{1093}\]
где \(C_{1095}^2\) - количество сочетаний из 1095 студентов по 2.
b) Подсчет вероятности того, что хотя бы один студент из 1095 имеет день рождения 4 апреля, можно выполнить вычитанием из 1 вероятности того, что ни один студент не родился 4 апреля:
\[P_{\geq 1} = 1 - C_{1095}^0 \cdot \left(\frac{1}{365}\right)^0 \cdot \left(\frac{364}{365}\right)^{1095}\]
где \(C_{1095}^0\) - количество сочетаний из 1095 студентов по 0.
Задача 2:
a) Нам дана вероятность p = 0,02 того, что телевизор потребует ремонта в гарантийный период. Число неисправных телевизоров k из 200 будет подчиняться биномиальному распределению. Найдем наиболее вероятное значение k0, для которого вероятность P(k0) будет максимальной. Формулу для такого значения находим, приравнивая производную функции вероятности по k к нулю:
\[\frac{{dP}}{{dk}} = C_{200}^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{200-k} \cdot \ln(p/(1-p)) = 0\]
Решив это уравнение, найдем значение k0. Вероятность P(k0) будет равна:
\[P(k0) = C_{200}^{k0} \cdot p^{k0} \cdot (1-p)^{200-k0}\]
b) Вероятность того, что хотя бы один телевизор из 200 потребует ремонта, можно найти, используя комплиментарную вероятность и вычитая из 1 вероятность того, что все телевизоры останутся рабочими:
\[P_{\geq 1} = 1 - C_{200}^0 \cdot p^0 \cdot (1-p)^{200}\]
где \(C_{200}^0\) - количество сочетаний из 200 телевизоров по 0.
Надеюсь, что объяснение было понятным. Если у вас возникнут еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!