1. Знайдіть координати середини відрізка ДС, якщо С (0; 4), Д (2; 8). 2. Запишіть кутовий коефіцієнт у рівнянні прямої

Морозный_Воин_7467

63

1. Щоб знайти координати середини відрізка ДС, необхідно обчислити середнє значення координат точок С і Д. Для цього додаємо координати точок С і Д окремо і ділимо на 2. Так отримаємо:
\[
\begin{align*}
x_{\text{сер}} &= \frac{(0 + 2)}{2} = 1 \\
y_{\text{сер}} &= \frac{(4 + 8)}{2} = 6
\end{align*}
\]
Отже, координати середини відрізка ДС будуть (1; 6).

2. У рівнянні прямої у = 3х + 5 кутовий коефіцієнт визначає кут нахилу прямої до вісі Ox. У даному випадку кутовий коефіцієнт дорівнює значенню коефіцієнта при змінній x у рівнянні прямої. Тому кутовий коефіцієнт у цьому випадку дорівнює 3.

3. Щоб знайти координати центра та радіус кола, заданого рівнянням (х – 3)(х^2) + (у – 4)(х^2) = 4, спочатку треба переписати рівняння у стандартній формі кола: \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\), де (a, b) - координати центра кола, r - радіус кола. Скористаємося формулою розкриття дужок (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, де a = x - 3, b = x^2, та зіберемо члени разом:
\[
\begin{align*}
x^3 - 6x^2 + 9x + y^2 - 8y + 16 = 4
\end{align*}
\]
Перенесемо все в ліву частину:
\[
\begin{align*}
x^3 - 6x^2 + 9x + y^2 - 8y + 12 = 0
\end{align*}
\]
Отримали рівняння кола у стандартній формі. Центр кола має координати (a, b), де a = \(\frac{-D_x}{2A}\), b = \(\frac{-D_y}{2B}\), а D_x і D_y - коефіцієнти до x і y у рівнянні кола. Для нашого випадку A = 1, B = 1, D_x = 9, D_y = -8. Підставляємо їх в формулу:
\[
\begin{align*}
a = \frac{-D_x}{2A} = \frac{-9}{2} = -\frac{9}{2}\\
b = \frac{-D_y}{2B} = \frac{8}{2} = 4
\end{align*}
\]
Отже, координати центра кола будуть \(\left(-\frac{9}{2}, 4\right)\).

4. Відстань між точками \(P(-3, 5)\) і \(Q(1, 2)\) можна обчислити за допомогою формули відстані між двома точками:
\[
\begin{align*}
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\end{align*}
\]
Підставимо координати точок Р і Q в формулу:
\[
\begin{align*}
d &= \sqrt{(1 - (-3))^2 + (2 - 5)^2}\\
&= \sqrt{4^2 + (-3)^2}\\
&= \sqrt{16 + 9}\\
&= \sqrt{25}\\
&= 5
\end{align*}
\]
Отримали, що відстань між точками Р і Q дорівнює 5.

5. Рівняння кола з центром в точці О(2, -4) та радіусом \(\sqrt{5}\) можна записати у стандартній формі \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\), де (a, b) - координати центра кола, r - радіус кола. Підставимо відомі значення:
\[
\begin{align*}
(x - 2)^2 + (y - (-4))^2 &= (\sqrt{5})^2\\
(x - 2)^2 + (y + 4)^2 &= 5
\end{align*}
\]
Отже, рівняння кола буде \((x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 5\).

6. Щоб знайти кутовий коефіцієнт у рівнянні прямої 2х – 4у – 7 = 0, треба переписати рівняння у вигляді \(y = mx + c\), де m - кутовий коефіцієнт, c - вільний член рівняння. Для цього перенесемо член 2х в ліву частину:
\[
\begin{align*}
4у = 2х - 7
\end{align*}
\]
Розділимо обидві частини на 4:
\[
\begin{align*}
у = \frac{1}{2}х - \frac{7}{4}
\end{align*}
\]
Кутовий коефіцієнт в даному випадку дорівнює \(\frac{1}{2}\).

7. Щоб довести, що трикутник з вершинами в точках А(0, -3), В(2, 3), С(6, -1) є рівнобедреним за основою, потрібно перевірити, чи дорівнюють сторони AB і AC. Використовуючи формулу відстані між точками, маємо:
\[
\begin{align*}
AB &= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\\
AB &= \sqrt{(2 - 0)^2 + (3 - (-3))^2}\\
AB &= \sqrt{2^2 + 6^2}\\
AB &= \sqrt{4 + 36}\\
AB &= \sqrt{40}\\
AB &= 2\sqrt{10}
\end{align*}
\]
Аналогічно, обчислюємо AC:
\[
\begin{align*}
AC &= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\\
AC &= \sqrt{(6 - 0)^2 + (-1 - (-3))^2}\\
AC &= \sqrt{6^2 + 2^2}\\
AC &= \sqrt{36 + 4}\\
AC &= \sqrt{40}\\
AC &= 2\sqrt{10}
\end{align*}
\]
Отримали, що AB = AC, тому трикутник ABC є рівнобедреним за основою.

8. Для того щоб скласти рівняння кола, потрібні координати центра та радіус. За умовою відомо, що центр кола знаходиться в точці О(2, -4), а радіус дорівнює \(\sqrt{5}\). Рівняння кола має вигляд \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\), де (a, b) - координати центра кола, r - радіус кола. Підставимо відомі значення:
\[
\begin{align*}
(x - 2)^2 + (y - (-4))^2 = (\sqrt{5})^2\\
(x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 5
\end{align*}
\]
Отже, рівняння кола буде \((x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 5\).