14.39. В тетраэдре DABC справедливо, что стороны ВА и ВС равны 17 см, стороны DA и DC равны 25 см, сторона BD равна

Schavel_3421

12

Для решения данной задачи нам понадобится использовать геометрические свойства тетраэдра. Для начала, построим треугольники BAD и BCD на основе данных, чтобы проиллюстрировать ситуацию:

       D

      / \

     /   \

   B/_____\A

    \     /

     \   /

      \ /

       C

Из условия задачи, сторона ВА равна 17 см, сторона ВС равна 17 см, сторона DA равна 25 см, сторона DC равна 25 см, сторона BD равна 28 см, а сторона AC равна 15√3 см.

Далее, воспользуемся теоремой косинусов, чтобы найти угол между плоскостями BAD и BCD, обозначим его как угол θ.

В треугольнике BAC можно найти угол A с помощью теоремы косинусов. Расстояние между точками B и C равно стороне BC, которая равна 17 см. Расстояние между точками B и А равно стороне BA, которая также равна 17 см. Расстояние между точками A и C равно стороне AC, которая равна 15√3 см.

Теорема косинусов гласит:
\[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(A)\]

Подставим известные значения:
\[17^2 = 17^2 + (15 \sqrt{3})^2 - 2 \cdot 17 \cdot 15 \sqrt{3} \cdot \cos(A)\]

Решим это уравнение для нахождения угла A:
\[289 = 289 + 675 - 510 \sqrt{3} \cdot \cos(A)\]
\[0 = 675 - 510 \sqrt{3} \cdot \cos(A)\]
\[\cos(A) = \frac{675}{510 \sqrt{3}} = \frac{5}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} = \frac{1}{2}\]

Зная значение косинуса, мы можем найти угол A, применяя арккосинус:
\[A = \frac{\pi}{3}\]

Теперь, чтобы найти угол θ между плоскостями BAD и BCD, мы можем воспользоваться свойством, что угол между двумя плоскостями равен углу между их нормалями.

Нормаль к плоскости BAD можно найти, взяв векторное произведение векторов BD и BA. Нормаль к плоскости BCD можно найти, взяв векторное произведение векторов BD и BC.

Вектор BD = (0, 3, -11) (посчитано как векторная разность точек D и B)
Вектор BA = (0, -3, 0) (посчитано как векторная разность точек A и B)
Вектор BC = (0, 0, -17) (посчитано как векторная разность точек C и B)

Теперь выполняем векторные произведения:
Нормаль к плоскости BAD = BD x BA = (0, 3, -11) x (0, -3, 0) = (33, 0, 0)
Нормаль к плоскости BCD = BD x BC = (0, 3, -11) x (0, 0, -17) = (-187, -33, 0)

Теперь найдем скалярное произведение этих нормалей:
\[(33, 0, 0) \cdot (-187, -33, 0) = 0 \cdot (-187) + 33 \cdot (-33) + 0 \cdot 0 = -1089\]

Наконец, найдем угол между этими нормалями с помощью формулы для скалярного произведения и косинуса угла:
\[-1089 = |\text{Нормаль к плоскости BAD}| \cdot |\text{Нормаль к плоскости BCD}| \cdot \cos(\theta)\]
\[-1089 = 33 \cdot 187 \cdot \cos(\theta)\]
\[\cos(\theta) = -\frac{1089}{6161} = -\frac{9}{51} = -\frac{3}{17}\]

Теперь применим арккосинус:
\[\theta = \arccos\left(-\frac{3}{17}\right)\]

Для точного значения этого угла нам понадобится калькулятор. Но теперь у вас есть все шаги, чтобы найти угол между плоскостями BAD и BCD в треугольнике DABC.