14. Сколько юношей принимало участие в соревнованиях по количеству мячей, забитых в ворота? Первый юноша забил 5 мячей

Zolotaya_Pyl

68

Чтобы решить эту задачу, мы можем построить уравнение и использовать метод последовательных приближений или же решить задачу аналитически.

Давайте рассмотрим первый способ. Из условия задачи известно, что первый юноша забил 5 мячей, а каждый последующий - в два раза больше предыдущего. Пусть n - количество юношей. Тогда, если первый юноша забил 5 мячей, второй забил 2 * 5 = 10 мячей, третий - 2 * 10 = 20, и т.д. Таким образом, мы можем записать сумму забитых мячей через n:

\[5 + 10 + 20 + ... + 5 \cdot 2^{n-1} = 635.\]

Мы знаем, что такая сумма эквивалентна разности суммы геометрической прогрессии с первым членом \(a = 5\) и знаменателем \(q = 2\) до \(n\) члена и общей суммы этой геометрической прогрессии равна 635.

Чтобы найти \(n\), используем формулу для суммы геометрической прогрессии:

\[\frac{a \cdot (q^n - 1)}{q-1} = 635.\]

Подставим значения \(a = 5\) и \(q = 2\):

\[\frac{5 \cdot (2^n - 1)}{1} = 635.\]

Упростив выражение, получим уравнение:

\[2^n - 1 = \frac{635}{5} = 127.\]

Теперь, нам нужно решить это уравнение, чтобы найти количество юношей (n). Перебирая разные целые значения n, мы находим, что \(2^7 - 1 = 127\), то есть n = 7.

Таким образом, в соревнованиях участвовало 7 юношей.

Однако, давайте проверим наше решение, заменив n = 7 в исходном уравнении:

\[5 + 10 + 20 + ... + 5 \cdot 2^{7-1} = 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = 635.\]

Действительно, сумма забитых мячей равна 635, что подтверждает наше решение.

Таким образом, ответ на задачу: в соревнованиях по количеству мячей, забитых в ворота, участвовало 7 юношей.