141. Жасаушы 3 см-ге, барлығының радиусы 2 см-ге тең цилиндрдің көлемін табыңдарын. 14.5. Осьтік қимасының диагоналі

Скворец

34

Радиус цилиндра составляет 2 см, а высота 3 см. Чтобы найти объем цилиндра, мы можем использовать формулу \( V = \pi r^2 h \), где \( \pi \) равно приближенно 3,14, \( r \) - радиус цилиндра, а \( h \) - его высота. Подставляя значения, получаем:

\[ V = 3,14 \cdot (2 \, \text{см})^2 \cdot 3 \, \text{см} \]

Выполняя вычисления, получаем:

\[ V = 3,14 \cdot 4 \, \text{см}^2 \cdot 3 \, \text{см} \]

\[ V = 3,14 \cdot 12 \, \text{см}^3 \]

\[ V \approx 37,68 \, \text{см}^3 \]

Таким образом, объем цилиндра равен примерно 37,68 см³.

Диагональ основания пирамиды равна 1 см, а угол между этой диагональю и высотой равен 30°. Чтобы найти объем пирамиды, мы можем использовать формулу \( V = \frac{1}{3} A h \), где \( A \) - площадь основания пирамиды, а \( h \) - ее высота. Площадь основания пирамиды можно найти, зная длину диагонали и высоту. Косинус 30° равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} \), а значит, что длина ребра пирамиды равна \( \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \) см. Подставляя значения, получаем:

\[ A = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot 1 \, \text{см} \]

Выполняя вычисления, получаем:

\[ A = \frac{2}{\sqrt{3}} \, \text{см}^2 \]

Теперь, подставляя значения в формулу объема пирамиды, имеем:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot 1 \, \text{см} \]

Выполняя вычисления, получаем:

\[ V = \frac{2}{3\sqrt{3}} \, \text{см}^3 \]

Таким образом, объем пирамиды равен \( \frac{2}{3\sqrt{3}} \) см³.

Если высота конуса увеличивается в 2 раза, а радиус табаны увеличивается в 2 раза, то формула для объема конуса \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \) остается неизменной. Подставляя новые значения, получаем:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 3,14 \cdot (2 \cdot r)^2 \cdot (2 \cdot h) \]

Упрощая это выражение, имеем:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 3,14 \cdot 4 \cdot r^2 \cdot 2 \cdot h \]

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 6,28 \cdot r^2 \cdot 2 \cdot h \]

\[ V = 4,19 \cdot r^2 \cdot h \]

Таким образом, объем конуса не изменяется при увеличении высоты в 2 раза и радиуса основания в 2 раза.

Цилиндр и конус имеют одинаковое основание и равные высоты. Пусть объем цилиндра равен 15 см³, тогда мы можем использовать формулу объема цилиндра, чтобы найти радиус:

\[ 15 = 3,14 \cdot r^2 \cdot 3 \]

\[ 15 = 9,42 \cdot r^2 \]

\[ r^2 = \frac{15}{9,42} \]

\[ r^2 \approx 1,6 \]

\[ r \approx \sqrt{1,6} \]

\[ r \approx 1,26 \]

Теперь мы можем использовать этот радиус в формуле объема конуса, чтобы найти его объем:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 3,14 \cdot 1,26^2 \cdot 3 \]

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 3,14 \cdot 1,5876 \cdot 3 \]

\[ V \approx 5,29 \cdot 3 \]

\[ V \approx 15,87 \, \text{см}^3 \]

Таким образом, объем конуса примерно равен 15,87 см³.

Надеюсь, это вам поможет! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.