18.2.2. Какая минимальная длина отрезка А должна быть, чтобы формула ((х е Q) -» (х е Р)) V (# е А) была верной

Магнитный_Ловец_532

52

Для решения задачи 18.2.2 нам необходимо найти минимальную длину отрезка А, для которого формула ((х ∈ Q) → (х ∈ Р)) ∨ (# ∈ А) будет верной для всех значений х, где Р = [5, 13] и Q = [8, 19].

Давайте анализировать формулу по частям. Первая часть формулы ((х ∈ Q) → (х ∈ Р)) является импликацией, что означает "если-то". Если х принадлежит отрезку Q, то он также должен принадлежать и отрезку Р. Если х не принадлежит отрезку Q, то он может принадлежать или не принадлежать отрезку Р.

Вторая часть формулы (# ∈ А) говорит о том, что существует хотя бы одно число (обозначено знаком #), которое принадлежит отрезку А.

Чтобы вся формула была верной, необходимо, чтобы выполнялись оба условия - х должно принадлежать и отрезку Р, и принадлежать отрезку А.

Отрезок Р = [5, 13] имеет длину 13 - 5 = 8. Мы хотим найти минимальную длину отрезка А, при которой формула будет верной для всех значений х.

Чтобы формула была верной для всех значений х, х должно быть либо вне отрезка Q, либо вне отрезка Р, или х может быть вне обоих отрезков.

Отрезок Q = [8, 19] имеет длину 19 - 8 = 11. Мы хотим найти минимальную длину отрезка А, при которой формула будет верной для всех значений х.

Минимальная длина отрезка А, чтобы формула ((х ∈ Q) → (х ∈ Р)) ∨ (# ∈ А) была верной, равна максимальной длине отрезка Р, за исключением участка пересечения с отрезком Q.

Исключая пересечение отрезка Р и отрезка Q, мы должны исключить значения х, принадлежащие обоим отрезкам. Пересекающийся участок - это отрезок [8, 13], который имеет длину 13 - 8 = 5.

Таким образом, минимальная длина отрезка А равна максимальной длине отрезка Р (8), минус длина пересекающегося участка (5), что равно 3.

Ответ: Минимальная длина отрезка А должна быть равна 3.

Теперь рассмотрим задачу 18.2.3. Здесь нам нужно найти максимальную длину отрезка А, чтобы формула ¬((x ∈ Р) → ¬(x ∈ Q)) ∈ А была верной для всех значений х, где Р = [5, 13] и Q = [8, 19].

Анализируем формулу по частям. Формула ¬((x ∈ Р) → ¬(x ∈ Q)) является отрицанием импликации, что означает "не-если". Если х принадлежит отрезку Р и х не принадлежит отрезку Q, то формула будет истинной. Если х принадлежит отрезку Р и х также принадлежит отрезку Q, то формула будет ложной.

Вторая часть формулы ∈ А означает, что х должно принадлежать отрезку А.

Чтобы формула была верной, нужно, чтобы х принадлежал отрезку Р и не принадлежал отрезку Q, и чтобы х принадлежал отрезку А.

Отрезок Р = [5, 13] имеет длину 13 - 5 = 8. Мы хотим найти максимальную длину отрезка А, при которой формула будет верной для всех значений х.

Отрезок Q = [8, 19] имеет длину 19 - 8 = 11. Мы хотим найти максимальную длину отрезка А, при которой формула будет верной для всех значений х.

Максимальная длина отрезка А, чтобы формула ¬((x ∈ Р) → ¬(x ∈ Q)) ∈ А была верной, равна длине отрезка Р, за исключением пересечения с отрезком Q.

Исключая пересечение отрезка Р и отрезка Q, мы должны исключить значения х, принадлежащие обоим отрезкам. Пересекающийся участок - это отрезок [8, 13], который имеет длину 13 - 8 = 5.

Таким образом, максимальная длина отрезка А равна длине отрезка Р (8), минус длина пересекающегося участка (5), что равно 3.

Ответ: Максимальная длина отрезка А должна быть равна 3.

Теперь рассмотрим задачу 18.2.4. Здесь нам нужно найти максимальную длину отрезка А, чтобы формула (x ∈ A) → ¬(¬(x ∈ Р) ∧ ¬(x ∈ Q)) была верной для всех значений х, где Р = [5, 13] и Q = [8, 19].

Анализируем формулу по частям. Формула ¬(¬(x ∈ Р) ∧ ¬(x ∈ Q)) является отрицанием конъюнкции отрицаний, что означает "не-(не-и)". Если х не принадлежит отрезку Р и х не принадлежит отрезку Q, то формула будет истинной. Если х принадлежит отрезку Р или х принадлежит отрезку Q, то формула будет ложной.

Вторая часть формулы (x ∈ A) означает, что х должно принадлежать отрезку А.

Чтобы формула была верной, нужно, чтобы х не принадлежал ни отрезку Р, ни отрезку Q, и чтобы х принадлежал отрезку А.

Отрезок Р = [5, 13] имеет длину 13 - 5 = 8. Мы хотим найти максимальную длину отрезка А, при которой формула будет верной для всех значений х.

Отрезок Q = [8, 19] имеет длину 19 - 8 = 11. Мы хотим найти максимальную длину отрезка А, при которой формула будет верной для всех значений х.

Максимальная длина отрезка А, чтобы формула (x ∈ A) → ¬(¬(x ∈ Р) ∧ ¬(x ∈ Q)) была верной, равна длине отрезка Р, за исключением значения х, принадлежащего обоим отрезкам. То есть, это будет пересечение отрезка Р и отрезка Q, которое равно отрезку [8, 13] с длиной 13 - 8 = 5.

Таким образом, максимальная длина отрезка А будет равна 8 - 5 = 3.

Ответ: Максимальная длина отрезка А должна быть равна 3.