2. If the base sides of a rectangular parallelepiped are 3 and 4, and the lateral edge length is 6, a point K is chosen

Цыпленок

5

Данная задача требует некоторых геометрических знаний для ее решения. Чтобы ответ был понятен, я поэтапно объясню, как можно найти углы между линиями и плоскостями в данном случае.

Давайте начнем с определения основных понятий в задаче. Мы имеем параллелепипед со сторонами основания 3 и 4, а боковая грань (лateral edge) имеет длину 6. Точка K выбрана на этой грани таким образом, что она делит ее в отношении 2:1, считая от вершины D.

Чтобы найти углы, нам понадобится знать координаты точек A и K. Так как основание параллелепипеда прямоугольное, то точка A может быть найдена на одной из вершин основания. При условии, что точка A находится в ближайшем углу к точке K, мы можем предположить, что A находится в вершине C или D. Для определенности, давайте предположим, что A находится в вершине D.

Теперь рассмотрим отношение 2:1. То есть, отрезок DK в два раза длиннее отрезка AK. Поскольку DK - это латеральное ребро параллелепипеда, его длина равна 6, а значит длина отрезка AK равна 6/3 = 2.

Теперь мы можем найти координаты точек A и K. Пусть точка D имеет координаты (0, 0, 0), тогда точка A будет иметь координаты (3, 0, 0) (так как сторона основания равна 3). Также мы можем найти координаты точки K – программой отрезок DK делится в отношении 2:1, считая от точки D. Поскольку координаты точки D равны (0, 0, 0), мы можем найти координаты точки K, используя формулу:
\[K(x, y, z) = \left(\frac{2}{3} \cdot 0, \frac{2}{3} \cdot 0, \frac{2}{3} \cdot 6\right) = (0, 0, \frac{4}{3})\]

Теперь у нас есть все необходимые данные для нахождения углов.

a) Найдем угол между линиями AK и DK. Для этого воспользуемся формулой для нахождения угла между векторами:
\[\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\|}\]
где \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) - векторы, \(\theta\) - угол между векторами.

В нашем случае, вектор AK равен \(\mathbf{a} = (3, 0, \frac{4}{3})\) и вектор DK равен \(\mathbf{b} = (0, 0, 6)\).

Подставляя значения в формулу, получаем:
\[\cos\theta = \frac{(3, 0, \frac{4}{3}) \cdot (0, 0, 6)}{\sqrt{3^2 + 0^2 + (\frac{4}{3})^2} \cdot \sqrt{0^2 + 0^2 + 6^2}}\]

Выполнив необходимые вычисления, получаем:
\[\cos\theta = \frac{\frac{8}{3}}{2\sqrt{21}} = \frac{4}{3\sqrt{21}}\]

Теперь мы можем найти значение угла \(\theta\) с помощью функции arccos:
\[\theta = \arccos\left(\frac{4}{3\sqrt{21}}\right)\]
Для получения ответа в градусах, необходимо преобразовать значение в радианах, умножив его на \(\frac{180}{\pi}\):
\[\theta \approx 30.82^{\circ}\]

Таким образом, угол между линиями AK и DK составляет примерно 30.82 градуса.

b) Теперь найдем угол между плоскостями. Для этого нам понадобится нормальный вектор для каждой из плоскостей. Нормальный вектор для плоскости AK может быть найден с помощью векторного произведения:
\[\mathbf{n}_1 = \mathbf{a} \times \mathbf{k}\]
где \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{k}\) - векторы, лежащие в плоскости AK, а \(\mathbf{n}_1\) - нормальный вектор.

Подставляя значения в формулу, получаем:
\[\mathbf{n}_1 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 0 & \frac{4}{3} \\ 0 & 0 & 6 \end{vmatrix} = \left(\frac{8}{3}, -18, 0\right)\]

Точно так же найдем нормальный вектор \(\mathbf{n}_2\) для плоскости DK:
\[\mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & \frac{4}{3} \\ 0 & 0 & 6 \end{vmatrix} = \left(\frac{8}{3}, -12, 0\right)\]

Теперь мы можем найти угол между этими векторами, используя формулу:
\[\cos\theta = \frac{\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2}{\|\mathbf{n}_1\| \cdot \|\mathbf{n}_2\|}\]

Подставляя значения, получаем:
\[\cos\theta = \frac{\left(\frac{8}{3}, -18, 0\right) \cdot \left(\frac{8}{3}, -12, 0\right)}{\sqrt{\left(\frac{8}{3}\right)^2 + (-18)^2 + 0^2} \cdot \sqrt{\left(\frac{8}{3}\right)^2 + (-12)^2 + 0^2}}\]

После выполнения необходимых вычислений, мы получаем:
\[\cos\theta = \frac{\frac{320}{9}}{\frac{80}{3} \cdot \sqrt{\frac{121}{9}}} = \frac{32}{\sqrt{121}} = \frac{32}{11}\]

Теперь мы можем найти значение угла \(\theta\) аналогично предыдущему пункту:
\[\theta = \arccos\left(\frac{32}{11}\right) \approx 70.46^{\circ}\]

Таким образом, угол между плоскостями составляет примерно 70.46 градусов.

Вот и все! Теперь вам должно быть понятно, как найти углы между линиями AK и DK, а также между плоскостями. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.