Каков радиус окружности, которую можно вписать в треугольник KLC, если в пирамиде ABCM ребро MC перпендикулярно

Izumrudnyy_Drakon

19

Чтобы найти радиус окружности, которую можно вписать в треугольник KLC, мы будем использовать следующие шаги:

Шаг 1: Найдите площадь треугольника KLC.
Используем формулу площади треугольника \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin{C}\), где \(a\) и \(b\) - длины сторон треугольника, а \(C\) - угол между этими сторонами.
В нашем случае, мы знаем длины сторон \(KL = 12\) см и \(LC = 14\) см.
Также, у нас есть информация о треугольнике АМВ. Мы знаем, что \(АМ = 14\) см, \(ВМ = 12\) см и \(АВ = 10\) см.
С помощью теоремы Пифагора, мы можем найти третью сторону треугольника АМВ. Поэтому, \(АМВ\) является прямоугольным треугольником, где сторона \(АВ\) - гипотенуза.
Из \(АМВ\) мы можем найти угол \(А\) по формуле \(\sin{A} = \frac{b}{c}\), где \(b = \frac{1}{2} \cdot АВ = \frac{10}{2} = 5\) см, а \(c = АВ = 10\) см.
Тогда, \(\sin{A} = \frac{5}{10} = 0.5\).
Используя обратную функцию синуса, мы можем найти угол \(A\). Пусть \(\angle A = \arcsin(0.5) = 30^\circ\).
Таким образом, угол \(A\) равен 30 градусам.
Мы знаем, что треугольники KLC и АМВ - подобные треугольники, так как они имеют одинаковые углы и отношение сторон.
Поэтому, угол \(C\) треугольника KLC также равен 30 градусам.

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника KLC.

\[S_{KLC} = \frac{1}{2} \cdot KL \cdot LC \cdot \sin{C} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 14 \cdot \sin{30^\circ}\]

Шаг 2: Найдите полупериметр треугольника KLC.
Полупериметр \(p\) вычисляется по формуле \(p = \frac{a + b + c}{2}\), где \(a\), \(b\), и \(c\) - длины сторон треугольника.
В треугольнике KLC, \(a = KL = 12\) см, \(b = LC = 14\) см, и \(c\) - это двойная длина радиуса окружности, которую мы хотим найти.
Поэтому, \(c = 2r\), где \(r\) - радиус окружности.

Шаг 3: Примените формулу радиуса окружности, вписанной в треугольник KLC.
Используя формулу для площади треугольника в виде \(S = p \cdot r\), где \(S\) - площадь треугольника и \(p\) - полупериметр, мы можем выразить радиус:

\[\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 14 \cdot \sin{30^\circ} = \left(\frac{12 + 14 + 2r}{2}\right) \cdot r\]

Шаг 4: Решите полученное уравнение.
Выражая \(r\) из этого уравнения, мы найдем радиус окружности:

\[84 \cdot \sin{30^\circ} = (26 + 2r) \cdot r\]

Упрощая и перенося переменные влево:

\[2r^2 + 26r - 84 \cdot \sin{30^\circ} = 0\]

Теперь, решим это квадратное уравнение.
Найдем дискриминант \(D\):

\[D = b^2 - 4ac = 26^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-84 \cdot \sin{30^\circ})\]

\[D = 676 + 672 \cdot \sin{30^\circ}\]

\[D \approx 676 + 672 \cdot 0.5\]

\[D \approx 1000\]

Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два корня.
Вычислим корни уравнения используя формулу:

\[r = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-26 \pm \sqrt{1000}}{4}\]

\[r = \frac{-26 \pm 10\sqrt{10}}{4}\]

Поскольку радиус не может быть отрицательным, мы выбираем только положительное значение радиуса:

\[r = \frac{-26 + 10\sqrt{10}}{4} \approx 3.87\]

Таким образом, радиус окружности, которую можно вписать в треугольник KLC, приближенно равен 3.87 см.

Ответ: а) 4√3/3; б) 3√6/2; в) 3√6/3. Выберите вариант б) 3√6/2.