2. Заданы точки A(2; -1) и B(4; 3), являющиеся концами диаметра окружности. Напишите уравнение этой окружности

Глория_6599

55

Задача 2. Чтобы найти уравнение окружности, проходящей через точки A(2; -1) и B(4; 3), мы должны найти ее центр и радиус.

1) Найдем координаты центра окружности. Для этого найдем среднюю точку между A и B:
Средняя точка x-координаты: \(\frac{{2 + 4}}{2} = 3\)
Средняя точка y-координаты: \(\frac{{-1 + 3}}{2} = 1\)

Таким образом, центр окружности имеет координаты C(3; 1).

2) Чтобы найти радиус окружности, мы можем использовать расстояние между точками A и B:
Радиус окружности: \(\sqrt{{(4 - 2)^2 + (3 - (-1))^2}} = \sqrt{{2^2 + 4^2}} = \sqrt{{4 + 16}} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)

Уравнение окружности имеет вид: \((x - 3)^2 + (y - 1)^2 = (2\sqrt{5})^2\)

3) Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через центр окружности и параллельную оси ординат, мы используем формулу \(x = c\), где c - x-координата центра окружности.
Таким образом, уравнение прямой будет: \(x = 3\).

Ответ:
- Уравнение окружности: \((x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 20\)
- Уравнение прямой: \(x = 3\)


Задача 3:
а) Нарисуем эти прямые в одной системе координат.

\[
\begin{align*}
&х–2у+3=0 \\
&х-2=0 \\
\end{align*}
\]

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y-первое\,уравнение & y-второе\,уравнение \\
\hline
0 & -\frac{3}{2} & -1 \\
\hline
2 & 2 & 1 \\
\hline
4 & \frac{7}{2} & 2 \\
\hline
\end{array}
\]

Точки первого уравнения соединим синей линией, а точки второго уравнения соединим красной линией.

б) Чтобы найти точку пересечения этих прямых, мы должны приравнять их уравнения друг другу:

\(х–2у+3 = х-2\)

Упрощаем уравнение:

\(-2у + 3 = -2\)

\(-2у = -5\)

\(у = \frac{5}{2}\)

Подставляем значение \(у\) в одно из уравнений:

\(х–2 \cdot \frac{5}{2} = 0\)

Упрощаем уравнение:

\(х–5 = 0\)

\(х = 5\)

Таким образом, точка пересечения данных прямых - \(P(5; \frac{5}{2})\).

в) Чтобы найти площадь треугольника, образованного этими прямыми и осью ординат, мы должны найти высоту треугольника и длину его основания.

Высоту треугольника мы можем найти как разность между \(y\) - координатами вершин треугольника.

Высота треугольника: \(\frac{5}{2} - 0 = \frac{5}{2}\)

Основание треугольника равно расстоянию по оси абсцисс между положительными корнями уравнений.

Основание треугольника: \(4 - 2 = 2\)

Теперь мы можем найти площадь треугольника, используя формулу площади:

Площадь треугольника: \(\frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{2}\)

Ответ:
а) Нарисованные прямые в одной системе координат.
б) Точка пересечения прямых: \(P(5; \frac{5}{2})\)
в) Площадь треугольника: \(\frac{5}{2}\) (единицы площади).