270. Каковы углы CD и AB, если точки A и B делят окружность на две дуги, чьи градусные меры относятся как 7:17?

Pylayuschiy_Zhar-ptica

36

Рассмотрим задачу 270. У нас есть окружность, которую точки A и B делят на две дуги. Допустим, что градусные меры этих двух дуг соотносятся как 7:17.

Пусть угол CAD равен x, а угол DAB равен y. Так как дуги имеют градусные меры, которые относятся как 7:17, то можно написать следующую пропорцию:

\(\frac{x}{y} = \frac{7}{17}\)

Мы знаем, что углы в сумме равны 180 градусов. Также, угол CAB, который дополняет угол CAD, равен 90 градусов. Отсюда можно записать следующее:

x + y + 90 = 180

Решим эту систему уравнений.

Сначала выразим x из первого уравнения:

\(x = \frac{7y}{17}\)

Подставим это значение во второе уравнение:

\(\frac{7y}{17} + y + 90 = 180\)

Приведем к общему знаменателю:

\(\frac{7y + 17y}{17} + \frac{90 \cdot 17}{17} = 180\)

\(\frac{24y}{17} + 90 = 180\)

Вычтем 90 с обеих сторон:

\(\frac{24y}{17} = 90\)

Умножим обе части на 17:

\(24y = 90 \cdot 17\)

\(24y = 1530\)

Разделим на 24:

\(y = \frac{1530}{24}\)

\(y = 63.75\)

Теперь мы знаем значение угла DAB. Подставим это значение обратно в первое уравнение, чтобы найти значение угла CAD:

\(x = \frac{7 \cdot 63.75}{17}\)

\(x = 26.25\)

Таким образом, углы CD и AB равны 26.25 и 63.75 градусов соответственно.

Продолжим с задачей 271. Нам нужно найти угол между прямыми CD и AB, если окружность с центром в точке A делится на дуги AMB и ANB, чьи градусные меры относятся как 7:17.

Поскольку дуги AMB и ANB относятся как 7:17, то соответствующие им центральные углы тоже будут относиться так же. Пусть угол AMB равен x градусов, а угол ANB равен y градусов. Тогда мы можем записать следующую пропорцию:

\(\frac{x}{y} = \frac{7}{17}\)

Чтобы найти угол между прямыми CD и AB, нам нужно вычесть угол DAB из 180 градусов, так как эти два угла образуют линию. Давайте решим задачу.

На предыдущем шаге мы уже нашли угол DAB равным 63.75 градусов. Теперь найдем углы AMB и ANB.

Мы знаем, что сумма углов с общей вершиной равна 360 градусов. Также у нас есть пропорция \( \frac{x}{y} = \frac{7}{17} \). Это позволяет нам записать следующую систему уравнений:

\( x + y + 63.75 = 360 \)
\( \frac{x}{y} = \frac{7}{17} \)

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения углов AMB и ANB.

Сначала выразим x из второго уравнения:

\( x = \frac{7y}{17} \)

Подставим это значение в первое уравнение:

\( \frac{7y}{17} + y + 63.75 = 360 \)

Приведем к общему знаменателю:

\( \frac{7y + 17y}{17} + \frac{63.75 \cdot 17}{17} = 360 \)

\( \frac{24y}{17} + 63.75 = 360 \)

Вычтем 63.75 с обеих сторон:

\( \frac{24y}{17} = 296.25 \)

Умножим обе части на 17:

\( 24y = 296.25 \cdot 17 \)

\( 24y = 5031.75 \)

Разделим на 24:

\( y = \frac{5031.75}{24} \)

\( y = 209.65625 \)

Теперь мы знаем значение угла ANB. Подставим это значение обратно во второе уравнение, чтобы найти значение угла AMB:

\( \frac{x}{209.65625} = \frac{7}{17} \)

Перемножим стороны:

\( 17x = 7 \cdot 209.65625 \)

\( 17x = 1467.59375 \)

Разделим на 17:

\( x = \frac{1467.59375}{17} \)

\( x = 86.32352941 \)

Таким образом, угол между прямыми CD и AB равен 180 - 63.75 = 116.25 градусов.