3.52. Одна из граней треугольной призмы лежит на плоскости и имеет равносторонний треугольник в основании. Одна

Радуша

7

Объем треугольной призмы равен произведению площади основания на высоту призмы. Для решения данной задачи необходимо найти площадь основания треугольной призмы.

Поскольку в основании призмы лежит равносторонний треугольник, то все его стороны равны. Пусть длина стороны равностороннего треугольника составляет $a$ единиц.

Площадь равностороннего треугольника можно найти с помощью формулы:

$$П=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2,$$

где $П$ - площадь треугольника, $a$ - длина стороны треугольника.

Так как грань призмы является равносторонним треугольником, то его площадь равна $П=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2$.

Теперь необходимо найти длину стороны равностороннего треугольника. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой призмы, стороной основания и радиусом описанной окружности равностороннего треугольника.

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника равен половине стороны треугольника. Поэтому радиус описанной окружности равен $\frac{a}{2}$. Также, известно, что радиус описанной окружности равен хорде (строны треугольника), проведенной через центр окружности (вершину треугольника). Поэтому, высота призмы также равна $\frac{a}{2}$.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины стороны равностороннего треугольника:

$$a^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2+h^2,$$

где $h$ - высота призмы.

Упрощая уравнение, получим:

$$a^2=\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4},$$

$$\frac{3a^2}{4}=a^2,$$

$$3a^2=4a^2,$$

$$a^2=\frac{3a^2}{3},$$

$$a^2=a^2.$$

Таким образом, площадь основания призмы равна $\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2$, где $a$ - сторона равностороннего треугольника.