3.52. Одна из граней треугольной призмы лежит на плоскости и имеет равносторонний треугольник в основании. Одна

Радуша

7

Объем треугольной призмы равен произведению площади основания на высоту призмы. Для решения данной задачи необходимо найти площадь основания треугольной призмы.

Поскольку в основании призмы лежит равносторонний треугольник, то все его стороны равны. Пусть длина стороны равностороннего треугольника составляет \(a\) единиц.

Площадь равностороннего треугольника можно найти с помощью формулы:

\[П = \frac{{\sqrt {3} }}{{4}} \cdot a^2,\]

где \(П\) - площадь треугольника, \(a\) - длина стороны треугольника.

Так как грань призмы является равносторонним треугольником, то его площадь равна \(П = \frac{{\sqrt {3} }}{{4}} \cdot a^2\).

Теперь необходимо найти длину стороны равностороннего треугольника. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой призмы, стороной основания и радиусом описанной окружности равностороннего треугольника.

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника равен половине стороны треугольника. Поэтому радиус описанной окружности равен \(\frac{{a}}{2}\). Также, известно, что радиус описанной окружности равен хорде (строны треугольника), проведенной через центр окружности (вершину треугольника). Поэтому, высота призмы также равна \(\frac{{a}}{2}\).

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины стороны равностороннего треугольника:

\[a^2 = \left( \frac{{a}}{2} \right)^2 + h^2,\]

где \(h\) - высота призмы.

Упрощая уравнение, получим:

\[a^2 = \frac{{a^2}}{4} + \frac{{a^2}}{4},\]

\[\frac{{3a^2}}{4} = a^2,\]

\[3a^2 = 4a^2,\]

\[a^2 = \frac{{3a^2}}{3},\]

\[a^2 = a^2.\]

Таким образом, площадь основания призмы равна \(\frac{{\sqrt {3} }}{{4}} \cdot a^2\), где \(a\) - сторона равностороннего треугольника.