34 а) На сколько может измениться число, если одну цифру уменьшить на 1, а другую увеличить на 1? Какова будет сумма

Yagnenok

17

а) Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим число \(34\). У нас есть две цифры - 3 и 4. Для первой цифры 3, мы уменьшаем ее на 1 и получаем 2, а для второй цифры 4, мы увеличиваем ее на 1 и получаем 5. Таким образом, мы можем получить два возможных изменения числа: 24 и 54.

Чтобы найти сумму цифр после изменения, просто сложим полученные цифры: для числа 24 мы имеем 2 + 4 = 6, а для числа 54 мы имеем 5 + 4 = 9.

Таким образом, сумма цифр после изменения для чисел 24 и 54 соответственно равны 6 и 9.

б) Теперь нам нужно предоставить доказательство того, что каждое число можно привести к виду 9. .9 и 0. .9 с помощью операций из пункта (а).

Рассмотрим произвольное число \(n\), где \(n\) - любое число. Мы можем записать это число в виде \(\overline{a_1a_2a_3...a_n}\), где каждая \(a_i\) представляет собой цифру числа \(n\).

Согласно операциям из пункта (а), мы можем уменьшить каждую цифру числа \(n\) на 1 и получить число \(\overline{(a_1-1)(a_2-1)(a_3-1)...(a_n-1)}\).

Теперь у нас есть число, в котором каждая цифра уменьшена на 1.

Теперь, если мы увеличим каждую цифру числа \(\overline{(a_1-1)(a_2-1)(a_3-1)...(a_n-1)}\) на 1, мы получим число \(\overline{(a_1-1+1)(a_2-1+1)(a_3-1+1)...(a_n-1+1)}\), то есть число \(\overline{a_1a_2a_3...a_n}\), то есть исходное число \(n\).

Таким образом, мы доказали, что каждое число можно привести к виду 9. .9 и 0. .9 с помощью операций из пункта (а).

в) Для того, чтобы число \(9. .9 0. .0\) было делится на \(11\), нужно, чтобы разность суммы цифр в нечетных позициях (9 + 0 + 0 + ...) и суммы цифр в четных позициях (9 + 9 + 9 + ...) была кратна \(11\).

Разность суммы цифр в нечетных позициях и суммы цифр в четных позициях составляет \(9 - 9 = 0\).

Таким образом, разность суммы цифр в нечетных позициях и суммы цифр в четных позициях равна \(0\), что является кратным \(11\).

Следовательно, число \(9. .9 0. .0\) делится на \(11\).