4. Во сколько раз следует изменить расстояние между материальными точками, чтобы увеличить силу их гравитационного

Chudo_Zhenschina

58

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать закон всемирного тяготения, согласно которому сила гравитационного притяжения \(F\) между двумя материальными точками пропорциональна их массам \(m_1\) и \(m_2\) и обратно пропорциональна квадрату расстояния \(r\) между ними:

\[F \propto \frac{{m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}.\]

В задаче требуется увеличить силу гравитационного притяжения в 16 раз. Давайте обозначим изначальное расстояние между точками как \(r_1\), а изменённое расстояние — как \(r_2\). Тогда задача сводится к тому, во сколько раз следует изменить расстояние между точками, чтобы сила гравитационного притяжения изменилась в 16 раз.

Мы можем записать пропорцию между изначальной и изменённой силами гравитационного притяжения, используя выражение для силы:

\[\frac{{F_2}}{{F_1}} = \frac{{\frac{{m_1 \cdot m_2}}{{r_2^2}}}}{{\frac{{m_1 \cdot m_2}}{{r_1^2}}}}.\]

Отменяя сопротивительные множители \(m_1\) и \(m_2\), получим:

\[\frac{{F_2}}{{F_1}} = \frac{{r_1^2}}{{r_2^2}}.\]

Так как нам известно, что отношение сил составляет 16, можем записать уравнение:

\[\frac{{r_1^2}}{{r_2^2}} = 16.\]

Чтобы решить это уравнение относительно \(r_2\), мы можем применить обратную операцию относительно возведения в квадрат — извлечение квадратного корня. Получим:

\[\sqrt{\frac{{r_1^2}}{{r_2^2}}} = \sqrt{16}.\]

Сокращая дробь, будет:

\[\frac{{r_1}}{{r_2}} = 4.\]

Для того, чтобы найти отношение расстояний, нам нужно найти во сколько раз \(r_1\) больше \(r_2\) или во сколько раз \(r_2\) меньше \(r_1\). Так как вопрос формулирует задачу как "во сколько раз следует изменить расстояние между точками", мы ищем отношение \(r_1\) к \(r_2\). Значит, \(r_2\) будет \(r_1 / 4\).

Таким образом, чтобы увеличить силу их гравитационного притяжения в 16 раз, необходимо изменить расстояние между точками в 4 раза меньше, чем изначальное расстояние.