6. Какова высота цилиндра, если площадь одной стороны равна 12 м², а площадь основания - 6 м²? (В решении этой задачи

Morskoy_Briz

48

6. Для решения данной задачи мы сначала вычислим радиус цилиндра. Площадь одной стороны цилиндра равна 12 м², а площадь основания равна 6 м². Обозначим радиус цилиндра через \( r \), а его высоту через \( h \).

Площадь одной стороны цилиндра, так как цилиндр - это боковая поверхность плюс два основания, составляет:
\[ Объем_{бок} = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h = 12 \]

Площадь основания цилиндра равна:
\[ Площадь_{осн} = \pi \cdot r^2 = 6 \]

Применяя предположение из условия задачи и заменяя \(\pi\) на 3, получаем систему уравнений:
\[
\begin{cases}
2 \cdot 3 \cdot r \cdot h = 12 \\
3 \cdot r^2 = 6
\end{cases}
\]

Решая эту систему, найдем значение радиуса и высоты цилиндра:

\[ r = \sqrt{2} \] (используя второе уравнение)
\[ h = \frac{2}{3} \] (подставим значение радиуса в первое уравнение)

Итак, высота цилиндра равна \(\frac{2}{3}\) метра.

7. Для решения данной задачи мы можем использовать формулу площади основания конуса:

\[ S = \pi \cdot r^2 \]

где \( S \) - площадь основания, а \( r \) - радиус основания. В данной задаче нам известна длина образующей и угол между образующей и осью конуса.

Образующая конуса \( l \) связана с радиусом основания \( r \) и углом \( \alpha \) следующим образом:

\[ l = \sqrt{r^2 + h^2} \]

где \( h \) - высота конуса. В данном случае \( \alpha = 45^\circ \) и \( l = 12 \) см. Рассмотрим треугольник, образованный образующей, радиусом основания и высотой конуса, и применим определение тригонометрической функции касательной:

\[ \tan(\alpha) = \frac{h}{r} \]

Подставим известные значения:

\[ \tan(45^\circ) = \frac{h}{r} \]

\[ 1 = \frac{h}{r} \]

\[ h = r \]

Теперь можем записать уравнение:

\[ l = \sqrt{r^2 + r^2} \]

\[ 12 = \sqrt{2r^2} \]

\[ 144 = 2r^2 \]

\[ r^2 = 72 \]

\[ r = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \]

Площадь основания конуса равна:

\[ S = \pi \cdot r^2 = 3 \cdot (6\sqrt{2})^2 = 3 \cdot 72 = 216 \]

Итак, площадь основания конуса равна 216 квадратных сантиметров.

8. Для решения данной задачи мы будем использовать понятия геометрии. Расстояние от центра шара до плоскости сечения будет равно радиусу шара, так как радиус шара является расстоянием от его центра до любой точки на его поверхности.

У нас даны радиус шара \( R = 6 \) см и радиус сечения \( r = 3\sqrt{3} \) см.

Расстояние от центра шара до плоскости сечения будет равно радиусу шара минус радиус сечения:

\[ Расстояние = R - r = 6 - 3\sqrt{3} \]

Площадь сечения будет равна площади окружности заданного радиуса:

\[ Площадь_{сеч} = \pi \cdot r^2 = 3 \cdot (\sqrt{3})^2 = 3 \cdot 3 = 9 \]

Итак, расстояние от центра шара до плоскости сечения составляет \( 6 - 3\sqrt{3} \) сантиметров, а площадь сечения равна 9 квадратным сантиметрам.