7. Яку бічну поверхню має зрізаний конус, якщо його більша основа має діаметр 14 см, а висота і твірна становлять 3

Игорь_4158

16

7. Щоб знайти бічну поверхню зрізаного конуса, спочатку необхідно знайти об"єм цього конусу. Формула для об"єму конусу виглядає наступним чином:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

де \(V\) - об"єм конусу, \(\pi\) - число пі, \(r\) - радіус основи конусу, \(h\) - висота конусу.

В даній задачі, більша основа конусу має діаметр 14 см, що означає, що її радіус \(r\) дорівнює півдіаметру = 14 / 2 = 7 см.

Також дано, що висота конусу \(h\) становить 3 см, а твірна - 5 см.

Підставляючи ці значення в формулу для об"єму, маємо:

\[V = \frac{1}{3} \pi \cdot 7^2 \cdot 3\]

\[V = \frac{1}{3} \pi \cdot 49 \cdot 3\]

\[V = \pi \cdot 49\]

\[V \approx 153.94 \, см^3\]

Отже, об"єм зрізаного конуса дорівнює приблизно 153.94 \, см^3.

Тепер враховуючи, що бічна поверхня конуса складається з прямокутного трикутника, маємо формулу для площі поверхні конуса:

\[S_b = \pi r l\]

де \(S_b\) - бічна поверхня конуса, \(l\) - обхват великого основного кола конуса, який можна знайти за допомогою теореми Піфагора:

\[l = \sqrt{r^2 + h^2}\]

Підставляючи відомі значення, отримуємо:

\[l = \sqrt{7^2 + 3^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}\]

\[S_b = \pi \cdot 7 \cdot \sqrt{58}\]

\[S_b \approx 65.97 \, см^2\]

Таким чином, зрізаний конус має бічну поверхню приблизно 65.97 \, см^2.


8. Щоб знайти сторону квадрата, який дотикається до сфери, ми можемо скористатися тим фактом, що радіус сфери, що дорівнює 6.5 см, є половиною сторони квадрата.

Стверджується, що площина квадрата знаходиться на відстані 2,5 см від центра сфери. Це означає, що відстань від центру сфери до сторони квадрата дорівнює 6.5 - 2.5 = 4 см.

Отже, сторона квадрата має довжину 2 рази менше за цю відстань, а саме 4 / 2 = 2 см.

Таким чином, сторона квадрата, який дотикається до сфери, дорівнює 2 см.


9. Щоб знайти площу тіла обертання, утвореного рівностороннім трикутником, який обертається навколо осі, яка проходить через вершину трикутника паралельно протилежній стороні, ми можемо скористатися формулою для площі тіла обертання:

\[S = \pi \cdot \int_{a}^{b} f^2(x) dx\]

де \(S\) - площа тіла обертання, \(a\) і \(b\) - межі інтегрування (у випадку рівностороннього трикутника, вони можуть бути вибрані як будь-які 2 точки на осі обертання), \(f(x)\) - функція, що описує перетворюваний об"єкт (у нашому випадку, довжину відрізка в залежності від \(x\)).

Оскільки ми маємо рівносторонній трикутник зі стороною 6 см, ми можемо зобразити його на координатній площині таким чином:

\[
A
/ \
/___\
B C
\]

де точка \(A\) - вершина трикутника, \(BC\) - сторона трикутника, що обертається.

Якщо ось обертання вважати осью \(x\), а ось \(AB\) - ось \(y\), то функція \(f(x)\), що описує перетворюваний об"єкт, буде залежати від \(x\) та прямо пропорційна до відстані від осі обертання до сторони \(BC\).

За допомогою геометрії ми можемо встановити, що ця відстань дорівнює \(x \cdot \sqrt{3}\).

Таким чином, функція \(f(x)\) може бути записана як \(f(x) = x \cdot \sqrt{3}\).

Підставляючи це у формулу для площі тіла обертання і відповідні межі, маємо:

\[S = \pi \cdot \int_{0}^{6} (x \cdot \sqrt{3})^2 dx\]

\[S = \pi \cdot \int_{0}^{6} 3x^2 dx\]

\[S = 3\pi \cdot \int_{0}^{6} x^2 dx\]

Інтегруємо цю функцію:

\[S = 3\pi \cdot \left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^6\]

\[S = \pi \cdot (6^3 - 0^3)\]

\[S = \pi \cdot 216\]

Отже, площа тіла обертання, утвореного рівностороннім трикутником зі стороною 6 см, яке обертається навколо осі, що проходить через вершину трикутника паралельно протилежній стороні, дорівнює 216π. Відповідь залежить від одиниці виміру довжини.