А(-10; -2), B(-2; -2), C(-2; -6), D(-10; -6) координаталық жазықтыққа салыңдарымен белгіленген ABCD төртбұрышынды

Тимур

62

Школьникам будет проще понять решение задачи, если мы дополнительно предоставим им графическую иллюстрацию. Давайте начнем с построения точек A(-10; -2), B(-2; -2), C(-2; -6) и D(-10; -6) на координатной плоскости.

\[ \text{Иллюстрация:} \]

\[
\begin{array}{cccccccc}
& & & & & & & \\
& & & & & & & \\
& & & & & & & \\
& & & & & & & \\
& & & & & & & \\
& & D & & C & & & \\
& & & & & & & \\
& & & & & & & \\
& & A & & B & & & \\
& & & & & & & \\
\end{array}
\]

Теперь давайте проверим, является ли ABCD трапецией. Для этого нам нужно убедиться, что стороны AB и CD не параллельны.

Найдем угловые коэффициенты прямых AB и CD:

Пусть точка A имеет координаты A(x_1, y_1) и точка B имеет координаты B(x_2, y_2). Угловой коэффициент прямой AB вычисляется по формуле:

\[ k_{AB} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Подставляя значения координат, получаем:

\[ k_{AB} = \dfrac{-2 - (-2)}{-2 - (-10)} = \dfrac{0}{8} = 0 \]

Теперь найдем угловой коэффициент прямой CD:

Пусть точка C имеет координаты C(x_3, y_3) и точка D имеет координаты D(x_4, y_4). Угловой коэффициент прямой CD вычисляется по формуле:

\[ k_{CD} = \dfrac{y_4 - y_3}{x_4 - x_3} \]

Подставляя значения координат, получаем:

\[ k_{CD} = \dfrac{-6 - (-6)}{-10 - (-2)} = \dfrac{0}{-8} = 0 \]

Оба угловых коэффициента равны 0, что означает, что стороны AB и CD параллельны.

Таким образом, ABCD является прямоугольником, так как все его стороны параллельны и имеют одинаковую длину.

Теперь давайте найдем периметр и площадь прямоугольника.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле:

\[ P = 2 \cdot (AB + BC) \]

Подставляя значения координат, получаем:

\[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(-2 - (-10))^2 + (-2 - (-2))^2} = \sqrt{8^2 + 0^2} = 8 \]

\[ BC = \sqrt{(x_3 - x_2)^2 + (y_3 - y_2)^2} = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (-6 - (-2))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = 4 \]

Таким образом, периметр прямоугольника ABCD равен:

\[ P = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (8 + 4) = 2 \cdot 12 = 24 \]

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле:

\[ S = AB \cdot BC \]

Подставляя значения координат, получаем:

\[ S = AB \cdot BC = 8 \cdot 4 = 32 \]

Таким образом, периметр прямоугольника ABCD равен 24, а площадь прямоугольника равна 32.

Теперь нам нужно найти координаты точки E, которая является серединой отрезка AC, а также вычислить длину отрезка CE.

Для нахождения координат точки E, мы можем использовать формулы для нахождения средней точки:
\[ x_E = \dfrac{x_A + x_C}{2} \]
\[ y_E = \dfrac{y_A + y_C}{2} \]

Подставляя значения координат, получаем:
\[ x_E = \dfrac{-10 + (-2)}{2} = \dfrac{-12}{2} = -6 \]
\[ y_E = \dfrac{-2 + (-6)}{2} = \dfrac{-8}{2} = -4 \]

Таким образом, координаты точки E равны E(-6; -4).

Теперь давайте вычислим длину отрезка CE:

Для этого мы можем использовать формулу для вычисления расстояния между двумя точками:

\[ CE = \sqrt{(x_E - x_C)^2 + (y_E - y_C)^2} \]

Подставляя значения координат, получаем:

\[ CE = \sqrt{(-6 - (-2))^2 + (-4 - (-6))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} \]

Таким образом, длина отрезка CE равна \(\sqrt{20}\).

После всех вычислений, мы получаем следующие результаты:

- ABCD является прямоугольником.
- ABCD также является трапецией.
- Периметр прямоугольника ABCD равен 24.
- Площадь прямоугольника ABCD равна 32.
- Координаты точки E(-6; -4).
- Длина отрезка CE равна \(\sqrt{20}\).