А(-10; -2), B(-2; -2), C(-2; -6), D(-10; -6) координаталық жазықтыққа салыңдарымен белгіленген ABCD төртбұрышынды

Тимур

62

Школьникам будет проще понять решение задачи, если мы дополнительно предоставим им графическую иллюстрацию. Давайте начнем с построения точек A(-10; -2), B(-2; -2), C(-2; -6) и D(-10; -6) на координатной плоскости.

$$\text{Иллюстрация:}$$

$$\begin{array}{cccccccc}& & & & & & & \\ & & & & & & & \\ & & & & & & & \\ & & & & & & & \\ & & & & & & & \\ & & D& & C& & & \\ & & & & & & & \\ & & & & & & & \\ & & A& & B& & & \\ & & & & & & & \end{array}$$

Теперь давайте проверим, является ли ABCD трапецией. Для этого нам нужно убедиться, что стороны AB и CD не параллельны.

Найдем угловые коэффициенты прямых AB и CD:

Пусть точка A имеет координаты A(x_1, y_1) и точка B имеет координаты B(x_2, y_2). Угловой коэффициент прямой AB вычисляется по формуле:

$$k_{AB}={\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$$

Подставляя значения координат, получаем:

$$k_{AB}={\displaystyle \frac{-2-(-2)}{-2-(-10)}}={\displaystyle \frac{0}{8}}=0$$

Теперь найдем угловой коэффициент прямой CD:

Пусть точка C имеет координаты C(x_3, y_3) и точка D имеет координаты D(x_4, y_4). Угловой коэффициент прямой CD вычисляется по формуле:

$$k_{CD}={\displaystyle \frac{y_4-y_3}{x_4-x_3}}$$

Подставляя значения координат, получаем:

$$k_{CD}={\displaystyle \frac{-6-(-6)}{-10-(-2)}}={\displaystyle \frac{0}{-8}}=0$$

Оба угловых коэффициента равны 0, что означает, что стороны AB и CD параллельны.

Таким образом, ABCD является прямоугольником, так как все его стороны параллельны и имеют одинаковую длину.

Теперь давайте найдем периметр и площадь прямоугольника.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле:

$$P=2\cdot (AB+BC)$$

Подставляя значения координат, получаем:

$$AB=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}=\sqrt{(-2-(-10){)}^2+(-2-(-2){)}^2}=\sqrt{8^2+0^2}=8$$

$$BC=\sqrt{(x_3-x_2{)}^2+(y_3-y_2{)}^2}=\sqrt{(-2-(-2){)}^2+(-6-(-2){)}^2}=\sqrt{0^2+4^2}=4$$

Таким образом, периметр прямоугольника ABCD равен:

$$P=2\cdot (AB+BC)=2\cdot (8+4)=2\cdot 12=24$$

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле:

$$S=AB\cdot BC$$

Подставляя значения координат, получаем:

$$S=AB\cdot BC=8\cdot 4=32$$

Таким образом, периметр прямоугольника ABCD равен 24, а площадь прямоугольника равна 32.

Теперь нам нужно найти координаты точки E, которая является серединой отрезка AC, а также вычислить длину отрезка CE.

Для нахождения координат точки E, мы можем использовать формулы для нахождения средней точки:
$$x_E={\displaystyle \frac{x_A+x_C}{2}}$$
$$y_E={\displaystyle \frac{y_A+y_C}{2}}$$

Подставляя значения координат, получаем:
$$x_E={\displaystyle \frac{-10+(-2)}{2}}={\displaystyle \frac{-12}{2}}=-6$$
$$y_E={\displaystyle \frac{-2+(-6)}{2}}={\displaystyle \frac{-8}{2}}=-4$$

Таким образом, координаты точки E равны E(-6; -4).

Теперь давайте вычислим длину отрезка CE:

Для этого мы можем использовать формулу для вычисления расстояния между двумя точками:

$$CE=\sqrt{(x_E-x_C{)}^2+(y_E-y_C{)}^2}$$

Подставляя значения координат, получаем:

$$CE=\sqrt{(-6-(-2){)}^2+(-4-(-6){)}^2}=\sqrt{(-4{)}^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$$

Таким образом, длина отрезка CE равна $\sqrt{20}$.

После всех вычислений, мы получаем следующие результаты:

- ABCD является прямоугольником.
- ABCD также является трапецией.
- Периметр прямоугольника ABCD равен 24.
- Площадь прямоугольника ABCD равна 32.
- Координаты точки E(-6; -4).
- Длина отрезка CE равна $\sqrt{20}$.