a) Доказать, что температура поверхности Солнца около 6000 К. Излучение Солнца в верхней части атмосферы составляет

Skolzkiy_Baron

42

a) Для доказательства того, что температура поверхности Солнца около 6000 К, мы можем использовать формулу Стефана-Больцмана и формулу Планка, связывающую энергию излучения с длиной волны:

\[I = \frac{{2hc^2}}{{\lambda^5}} \cdot \frac{1}{{e^{\frac{{hc}}{{\lambda kT}}}-1}}\]

где:
- \(I\) - интенсивность излучения (1,37 кВт / м2 или 1,37 × 103 Вт / м2),
- \(h\) - постоянная Планка (6,62607015 × 10-34 Дж·с),
- \(c\) - скорость света (299 792 458 м/с),
- \(\lambda\) - длина волны излучения,
- \(k\) - постоянная Больцмана (1,380649 × 10-23 Дж/К),
- \(T\) - температура.

Мы также знаем, что яркость Солнца равна 4 × 1026 Вт и что расстояние от Солнца до Земли составляет 1,49 × 1011 м.

Чтобы найти температуру поверхности Солнца, мы должны сначала перевести интенсивность излучения в энергию излучения на поверхности Солнца, умножив на площадь поверхности Солнца (4πR2) и делим на 4πR2:

\[E_{\text{поверхности}} = \frac{{I \cdot 4\pi R^2}}{{4\pi R^2}} = I\]

где:
- \(R\) - радиус Солнца.

Теперь нам нужно найти длину волны излучения \(\lambda\), связанную с энергией излучения на поверхности Солнца. Мы используем формулу:

\[\lambda = \frac{{hc}}{{E_{\text{поверхности}} \cdot \sqrt[5]{\frac{{2hc^2}}{{I}}}-1}}\]

Подставив значения, получаем:

\[\lambda \approx 5,8 \times 10^{-7} \, \text{м} \, (\text{видимый свет})\]

Теперь мы можем использовать закон Вина для связи пика излучения с температурой поверхности Солнца:

\[\lambda_{\text{пик}} \cdot T = 2,898 \times 10^{-3} \, \text{м} \cdot \text{К}\]

Подставив значения, получаем:

\(5,8 \times 10^{-7} \, \text{м} \cdot T = 2,898 \times 10^{-3} \, \text{м} \cdot \text{К}\)

Деля обе части на \(5,8 \times 10^{-7} \, \text{м}\), мы получаем:

\(T = \frac{{2,898 \times 10^{-3} \, \text{м} \cdot \text{К}}}{{5,8 \times 10^{-7} \, \text{м}}} \approx 5000 \, \text{К}\)

Так как температура поверхности Солнца около 6000 К, мы можем заключить, что данное доказательство подтверждает это.

b) Чтобы вычислить радиус Солнца, мы можем использовать формулу для яркости поверхности и площади поверхности Солнца:

\[L = 4\pi R^2\sigma T^4\]

где:
- \(L\) - яркость Солнца (4 × 1026 Вт),
- \(R\) - радиус Солнца,
- \(\sigma\) - постоянная Стефана-Больцмана (5,670374419 × 10-8 Вт / (м2·К4)),
- \(T\) - температура поверхности Солнца (оценили как 6000 К).

Подставив значения, получим:

\[4\pi R^2\sigma (6000)^4 = 4 \times 10^{26}\]

Делим обе части на \(\sigma\) и решаем уравнение относительно \(R^2\):

\[R^2 = \frac{{4 \times 10^{26}}}{{4\pi \sigma (6000)^4}}\]

Подставив значения постоянных и произведений, получим:

\[R^2 \approx 6,96 \times 10^{16}\]

Извлекая квадратный корень, мы находим:

\[R \approx 2,64 \times 10^8 \, \text{м}\]

Таким образом, радиус Солнца составляет примерно \(2,64 \times 10^8\) метров.