а) Докажите, что количество прямых, пересекающихся на плоскости через каждую точку их пересечения, не может быть менее

Zvezdopad_Feya

65

а) Давайте рассмотрим данную задачу. Пусть у нас есть две прямые на плоскости. Они пересекаются в одной точке. Поскольку каждая прямая может пересекаться с другими прямыми только в одной точке (иначе они были бы совпадающими или параллельными), каждой точке пересечения двух прямых соответствует две прямые.

Затем добавим третью прямую на плоскость. Она может пересекаться с первыми двумя прямыми в двух точках. Теперь у нас есть три прямые и шесть точек пересечения. Каждой точке пересечения трех прямых соответствует три прямые.

Мы продолжим этот процесс, добавляя еще прямые на плоскость. Каждая новая прямая будет пересекаться с каждой из уже существующих прямых в новой точке пересечения, и для каждой новой точки пересечения будет добавляться еще одна прямая.

В результате мы увидим, что для каждой новой точки пересечения добавляется ровно одна прямая. Таким образом, количество прямых, пересекающихся на плоскости через каждую точку их пересечения, увеличивается на единицу с каждой новой прямой.

Мы стартовали с двух прямых и шести точек пересечения. Добавив еще пять прямых (рисуем на плоскости просто и придумываем, чтобы сумма точек пересечений увеличивалась на 1 с каждой новой прямой), мы получим 8 прямых и 21 точку пересечения. Таким образом, количество прямых всегда больше количества точек пересечения.

Теперь, чтобы аргументированно доказать, что количество прямых, пересекающихся на плоскости через каждую точку их пересечения, не может быть менее 7, мы можем привести пример с 8 прямыми.

б) Давайте предоставим пример с восьмью прямыми, удовлетворяющими условию задачи. Представим себе плоскость и нарисуем следующие прямые:

1. Проведем прямую вертикально, которая пересекается с горизонтальной осью в точке A.
2. Проведем прямую горизонтально, которая пересекается с вертикальной осью в точке B.
3. Проведем прямую, идущую из точки A вверх в наклонном направлении.
4. Проведем прямую, идущую из точки B вправо в наклонном направлении.
5. Проведем прямую, идущую из точки A влево в наклонном направлении.
6. Проведем прямую, идущую из точки B вниз в наклонном направлении.
7. Проведем прямую, параллельную оси Ox, проходящую через точку A.
8. Проведем прямую, параллельную оси Oy, проходящую через точку B.

Таким образом, мы получили 8 прямых, и каждая прямая пересекается с другими прямыми ровно в семи точках. Этот пример удовлетворяет условию задачи и демонстрирует, что количество прямых, пересекающихся на плоскости через каждую точку их пересечения, не может быть менее 7.