а) Докажите, что угол между плоскостями ABS и ABC равен 60°. б) Найдите площадь треугольника

Ястребка

67

Хорошо, давайте рассмотрим задачу по порядку.

а) Для доказательства того, что угол между плоскостями ABS и ABC равен 60°, мы должны использовать свойства векторного произведения.

Для начала, нам необходимо найти векторное произведение двух векторов на плоскости ABS и ABC. Пусть векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) будут соответственно векторами, исходящими от точки A.

\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}\]
\[\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}\]

Теперь найдем векторное произведение двух векторов:

\[\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ b_1 - a_1 & b_2 - a_2 & b_3 - a_3 \\ c_1 - a_1 & c_2 - a_2 & c_3 - a_3 \\ \end{vmatrix}\]

\[\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ b_1 - a_1 & b_2 - a_2 & b_3 - a_3 \\ c_1 - a_1 & c_2 - a_2 & c_3 - a_3 \\ \end{vmatrix} = \overrightarrow{i}[(b_2 - a_2)(c_3 - a_3) - (b_3 - a_3)(c_2 - a_2)] - \overrightarrow{j}[(b_1 - a_1)(c_3 - a_3) - (b_3 - a_3)(c_1 - a_1)] + \overrightarrow{k}[(b_1 - a_1)(c_2 - a_2) - (b_2 - a_2)(c_1 - a_1)]\]

Где \(\overrightarrow{i}\), \(\overrightarrow{j}\) и \(\overrightarrow{k}\) - это единичные векторы вдоль осей x, y и z соответственно.

Если векторное произведение равно нулевому вектору, то это означает, что плоскости ABS и ABC параллельны. В нашем случае мы хотим доказать, что угол между плоскостями равен 60°. Значит, векторное произведение должно быть ненулевым.

Теперь мы можем рассмотреть модуль нашего векторного произведения:

\[\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| = \sqrt{\left((b_2 - a_2)(c_3 - a_3) - (b_3 - a_3)(c_2 - a_2)\right)^2 + \left((b_1 - a_1)(c_3 - a_3) - (b_3 - a_3)(c_1 - a_1)\right)^2 + \left((b_1 - a_1)(c_2 - a_2) - (b_2 - a_2)(c_1 - a_1)\right)^2}\]

Если модуль векторного произведения не равен нулю, тогда плоскости не параллельны и мы можем найти угол между ними с помощью формулы:

\[\cos \theta = \frac{\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right|}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{AC}\right|}\]

где \(\left|\overrightarrow{AB}\right|\) и \(\left|\overrightarrow{AC}\right|\) - длины векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) соответственно.

Подставляем значения, находим косинус угла \(\theta\):

\[\cos \theta = \frac{\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right|}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|} = \frac{\sqrt{\left((b_2 - a_2)(c_3 - a_3) - (b_3 - a_3)(c_2 - a_2)\right)^2 + \left((b_1 - a_1)(c_3 - a_3) - (b_3 - a_3)(c_1 - a_1)\right)^2 + \left((b_1 - a_1)(c_2 - a_2) - (b_2 - a_2)(c_1 - a_1)\right)^2}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|}\]

Зная значение косинуса угла, мы можем найти сам угол \(\theta\), используя обратную функцию косинуса:

\[\theta = \cos^{-1}(\cos \theta)\]

Из этого выражения нам следует, что угол между плоскостями ABS и ABC равен \(\theta\), который мы получили из предыдущего шага.

б) Найдем площадь треугольника ABC. Для этого мы можем использовать формулу площади треугольника через длины его сторон, так как у нас нет прямого указания на то, что треугольник является прямоугольным.

Итак, пусть стороны треугольника ABC будут обозначены как AB, BC и CA, а полупериметр - s:

\[s = \frac{{AB + BC + CA}}{2}\]

Теперь мы можем вычислить площадь S треугольника ABC с помощью формулы Герона:

\[S = \sqrt{s(s - AB)(s - BC)(s - CA)}\]

Подставляем значения в формулу и вычисляем площадь треугольника.

Это и есть наше ответы. Если у вас есть еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!