а) Какие координаты имеет вершина d параллелограмма abcd? б) Как можно доказать, что параллелограмм abcd является

Kartofelnyy_Volk

14

а) Чтобы найти координаты вершины D параллелограмма ABCD, нам нужно использовать свойства параллелограмма. Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны по длине.

Пусть координаты вершины A параллелограмма ABCD равны (x1, y1), а координаты вершины B равны (x2, y2).

Так как противоположные стороны параллельны, то вектор AC будет равен вектору BD. Вектор обозначается через стрелку над буквой, например, \(\vec{AC}\).

То есть, \(\vec{AC} = \vec{BD}\).

Для того чтобы найти координаты точки C, необходимо прибавить вектор \(\vec{AC}\) к координатам вершины B. То есть,

Координата x точки C равна \(x_C = x_2 + (x_1 - x_2)\)

Координата y точки C равна \(y_C = y_2 + (y_1 - y_2)\)

Теперь нам нужно найти координаты точки D, которая будет противоположной вершине C. Координаты точки D получаются из координат точки A путем добавления вектора \(\vec{AC}\).

Координата x точки D равна \(x_D = x_1 + (x_1 - x_2)\)

Координата y точки D равна \(y_D = y_1 + (y_1 - y_2)\)

Таким образом, координаты вершины D параллелограмма ABCD равны (xD, yD).

б) Чтобы доказать, что параллелограмм ABCD является ромбом, нужно доказать два свойства:

1. Докажем, что все стороны параллелограмма равны по длине.

Для этого можно использовать расстояние между точками. Расстояние между точками A(x1, y1) и B(x2, y2) равно

\(\sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\)

Аналогично, расстояние между точками B и C, точками C и D, и точками D и A будет равно тому же значению.

Если все четыре стороны параллелограмма равны между собой, то параллелограмм ABCD является ромбом.

2. Докажем, что диагонали параллелограмма ABCD перпендикулярны.

Пусть точки A(x1, y1) и C(x3, y3) - это две противоположные вершины параллелограмма ABCD.

Вектор диагонали AC обозначим как \(\vec{AC}\), а вектор диагонали BD обозначим как \(\vec{BD}\).

Если вектор \(\vec{AC}\) будет перпендикулярен вектору \(\vec{BD}\), то диагонали AC и BD параллелограмма ABCD будут перпендикулярны.

Если произведение скалярных произведений этих векторов будет равно нулю, то векторы будут перпендикулярны:

\(\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (x_3 - x_1)(x_4 - x_2) + (y_3 - y_1)(y_4 - y_2) = 0\)

Если данное условие выполняется, то диагонали AC и BD параллелограмма ABCD перпендикулярны, и параллелограмм является ромбом.

Таким образом, если мы докажем, что все стороны параллелограмма равны по длине и диагонали параллелограмма перпендикулярны, то мы докажем, что параллелограмм ABCD является ромбом.