а) Какова апофема правильной треугольной пирамиды с высотой 4 см и радиусом окружности, описанной около ее основания

Петрович

43

а) Апофема правильной треугольной пирамиды является расстоянием от вершины пирамиды до центра основания. Чтобы найти апофему, мы можем использовать теорему Пифагора для вычисления длины апофемы.

Рассмотрим треугольник, образованный половиной основания пирамиды, радиусом описанной окружности и апофемой. Этот треугольник является прямоугольным, так как апофема является высотой, опущенной из вершины к основанию.

Зная, что радиус окружности (гипотенуза) равен 8 см, а высота треугольной пирамиды (прямоугольного треугольника) равна 4 см, мы можем использовать теорему Пифагора:

\[a^2 + b^2 = c^2,\]

где a и b - катеты треугольника, а c - гипотенуза.

В данном случае, a - половина стороны основания пирамиды, а b - апофема. Таким образом, у нас есть следующее уравнение:

\[a^2 + b^2 = c^2 \Rightarrow (\frac{a}{2})^2 + b^2 = 8^2\]

\[(\frac{a}{2})^2 + b^2 = 64\]

\[\frac{a^2}{4} + b^2 = 64\]

Учитывая, что сторона основания треугольной пирамиды равна длине стороны правильного треугольника, то есть с учетом соотношения между апофемой и стороной треугольника (a:b=2:√3), можем выразить b через сторону a:

\[b = \frac{a}{2\sqrt{3}}\]

Подставляя это в уравнение, получим:

\[\frac{a^2}{4} + (\frac{a}{2\sqrt{3}})^2 = 64\]

\[\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{12} = 64\]

\[\frac{3a^2 + a^2}{12} = 64\]

\[\frac{4a^2}{12} = 64\]

\[\frac{a^2}{3} = 64\]

\[a^2 = 3 \cdot 64\]

\[a^2 = 192\]

\[a = \sqrt{192} \approx 13.86\]

Таким образом, длина стороны основания пирамиды, апофема, равна примерно 13.86 см.

б) Для нахождения площади боковой поверхности треугольной пирамиды, мы можем использовать формулу:

\[S = \frac{a \cdot P}{2},\]

где S - площадь боковой поверхности, a - сторона основания пирамиды, P - периметр основания пирамиды.

Для нахождения периметра основания нужно знать сторону или радиус описанной окружности. В данной задаче, радиус описанной окружности равен 8 см, что соответствует стороне треугольника (основания):

\[P = 3 \cdot a = 3 \cdot 13.86 \approx 41.58\]

Теперь, используя данное значение периметра и значение стороны, мы можем рассчитать площадь боковой поверхности:

\[S = \frac{13.86 \cdot 41.58}{2} \approx 287.66\]

Таким образом, площадь боковой поверхности данной пирамиды примерно равна 287.66 квадратных сантиметров.