а) Найдите длину стороны CE треугольника CDE. б) Найдите радиус описанной окружности данного треугольника
а) Найдите длину стороны CE треугольника CDE.
б) Найдите радиус описанной окружности данного треугольника.
б) Найдите радиус описанной окружности данного треугольника.
Lev 18
Решение:а) Для нахождения длины стороны CE мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Эта теорема гласит:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]
Где:
- \( c \) — длина стороны, которую мы ищем (CE)
- \( a \) и \( b \) — длины других двух сторон
- \( C \) — угол между сторонами a и b
Так как у нас уже есть стороны DE и DC, нам нужно найти угол CDE. Затем мы можем использовать теорему косинусов.
\[ \cos(CDE) = \frac{DE^2 + DC^2 - CE^2}{2 \cdot DE \cdot DC} \]
\[ \cos(CDE) = \frac{16 + 25 - CE^2}{2 \cdot 4 \cdot 5} \]
\[ \cos(CDE) = \frac{41 - CE^2}{40} \]
Так как CE — сторона треугольника, то ее длина должна быть положительной. Таким образом, \( \cos(CDE) \) равен отрицательному числу. Поэтому:
\[ \frac{41 - CE^2}{40} = - \frac{1}{2} \]
\[ 41 - CE^2 = -20 \]
\[ -CE^2 = -61 \]
\[ CE^2 = 61 \]
\[ CE = \sqrt{61} \]
Таким образом, длина стороны CE треугольника CDE равна \( \sqrt{61} \).
б) Чтобы найти радиус описанной окружности треугольника, мы можем воспользоваться формулой:
\[ R = \frac{abc}{4S} \]
Где:
- \( R \) — радиус описанной окружности
- \( a \), \( b \), \( c \) — длины сторон треугольника
- \( S \) — площадь треугольника
Мы уже знаем длины сторон треугольника CDE: DE = 4, DC = 5, CE = \( \sqrt{61} \). Теперь нам нужно найти площадь треугольника. Мы можем воспользоваться формулой Герона:
\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]
Где:
- \( p \) — полупериметр треугольника, \( p = \frac{a + b + c}{2} \)
Подставим известные значения:
\[ p = \frac{4 + 5 + \sqrt{61}}{2} = \frac{9 + \sqrt{61}}{2} \]
\[ S = \sqrt{\frac{9 + \sqrt{61}}{2} \cdot \frac{5 + \sqrt{61}}{2} \cdot \frac{\sqrt{61} + 4}{2} \cdot \frac{9 - \sqrt{61}}{2}} \]
\[ S = \sqrt{\frac{(18 + 9\sqrt{61} + 5\sqrt{61} + 61)(9 - \sqrt{61})}{4 \cdot 4}} \]
\[ S = \sqrt{\frac{79 + 14\sqrt{61}}{16}} \]
Теперь, найдем радиус описанной окружности:
\[ R = \frac{4 \cdot 5 \cdot \sqrt{61}}{4 \cdot \sqrt{\frac{79 + 14\sqrt{61}}{16}}} \]
\[ R = \frac{20 \sqrt{61}}{\sqrt{79 + 14\sqrt{61}}} \]
\[ R = \frac{20 \sqrt{61} \cdot \sqrt{79 - 14\sqrt{61}}}{79 + 14\sqrt{61}} \]
\[ R = \frac{20 \cdot \sqrt{79 \cdot 61 - 14 \cdot 61^2}}{79 + 14\sqrt{61}} \]
\[ R = \frac{20 \cdot \sqrt{479 - 854}}{79 + 14\sqrt{61}} \]
\[ R = \frac{20 \cdot \sqrt{-375}}{79 + 14\sqrt{61}} \]
\[ R = \frac{20i\sqrt{375}}{79 + 14\sqrt{61}} \]
\[ R = \frac{100i\sqrt{15}}{79 + 14\sqrt{61}} \]
Таким образом, радиус описанной окружности данного треугольника равен \( \frac{100i\sqrt{15}}{79 + 14\sqrt{61}} \).