a) Станут ли векторы c=4a-2b и 4d=2a-b коллинеарными векторами? b) Вычислите модуль вектора |2c-3d|

Svetlyy_Angel_3169

70

a) Для того чтобы определить, станут ли векторы \(c=4a-2b\) и \(4d=2a-b\) коллинеарными, нужно проверить, существует ли такое число \(\lambda\), что вектор \(4d\) равен \(\lambda\) умноженному на вектор \(c\), то есть \(4d=\lambda c\).

Давайте разложим векторы \(c\) и \(4d\) на компоненты: \(c=(c_1, c_2)\) и \(4d=(4d_1, 4d_2)\).

Используя данную информацию, мы можем записать следующую систему уравнений:

\[
\begin{cases}
4d_1 = \lambda c_1 \\
4d_2 = \lambda c_2
\end{cases}
\]

Теперь давайте разберёмся с каждым уравнением по отдельности.

Верно ли, что \(4d_1=\lambda c_1\)?
Для этого сравним координаты \(4d\) и \(\lambda c\):

\[
\frac{{4d_1}}{{c_1}} = \frac{{4a_1-b_1}}{{4a_1-2b_1}} \quad \text{(1)}
\]

Таким же образом рассмотрим второе уравнение:

\[
\frac{{4d_2}}{{c_2}} = \frac{{4a_2-b_2}}{{4a_2-2b_2}} \quad \text{(2)}
\]

Теперь сравним левые части уравнений (1) и (2):

\[
\frac{{4a_1-b_1}}{{4a_1-2b_1}} = \frac{{4a_2-b_2}}{{4a_2-2b_2}}
\]

Если эта равенство справедливо, то векторы \(c\) и \(4d\) коллинеарны.

b) Чтобы вычислить модуль вектора \(|2c-3d|\), необходимо сначала вычислить разность \(2c-3d\), а затем найти его длину.

Давайте найдём разность \(2c-3d\):

\[
2c-3d = 2(4a-2b) - 3(2a-b)
\]

Раскроем скобки:

\[
2c-3d = 8a-4b - 6a + 3b
\]

Сгруппируем похожие слагаемые:

\[
2c-3d = (8a-6a) + (-4b+3b) = 2a-b
\]

Теперь мы можем вычислить модуль вектора \(|2c-3d|\):

\[
|2c-3d| = |2a-b|
\]

Модуль вектора \(2a-b\) равен длине этого вектора. Давайте вычислим его:

\[
|2a-b| = \sqrt{(2a_1-b_1)^2 + (2a_2-b_2)^2}
\]

Вот и получился полный ответ на задачу. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать!