1. solvetop.com
  2. Геометрия
  3. ABCD is a parallelogram...

ABCD is a parallelogram. Vector AB is equal to vector A, vector AD is equal to vector B. Point K belongs to BC, point

  • 40
ABCD is a parallelogram. Vector AB is equal to vector A, vector AD is equal to vector B. Point K belongs to BC, point L belongs to AD. BK to KC ratio is 2:3, AL to LD ratio is 3:2. Find the decomposition of vector KL into non-collinear vectors A and B. Provide a more detailed solution. It is preferable to write it on a sheet of paper.

Рекомендуется сохранять верные ответы и всегда делиться с друзьями, ведь они могут тебе ещё пригодиться!

Telegram Whatsapp ВКонтакте
Загадочная_Луна
69
Дано: ABCD - параллелограмм, \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A} \), \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{B} \). Точка K принадлежит BC, точка L принадлежит AD. Отношение BK к KC равно 2:3, отношение AL к LD равно 3:2. Найдите разложение вектора KL на неколлинеарные векторы A и B.

Для начала, нарисуем параллелограмм ABCD и обозначим точки K и L:

\[
\begin{array}{cc}
& \mathbf{D} \\
& \uparrow \\
\mathbf{A} & \longrightarrow & \mathbf{B} \\
& \uparrow & \uparrow \\
\mathbf{L} & & \mathbf{K} \\
& \uparrow
\end{array}
\]

Согласно условию, мы знаем, что \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A} \) и \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{B} \). Поделим стороны параллелограмма на отношения BK:KC и AL:LD:

\[ \overrightarrow{BK} = \frac{2}{5} \overrightarrow{BC} \]
\[ \overrightarrow{KC} = \frac{3}{5} \overrightarrow{BC} \]
\[ \overrightarrow{AL} = \frac{3}{5} \overrightarrow{AD} \]
\[ \overrightarrow{LD} = \frac{2}{5} \overrightarrow{AD} \]

Теперь рассмотрим вектор KL:

\[ \overrightarrow{KL} = \overrightarrow{KC} + \overrightarrow{CL} = \frac{3}{5} \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CL} \]

Мы хотим разложить вектор KL на неколлинеарные векторы A и B. Заметьте, что векторы A и B уже заданы в условии как \( \overrightarrow{A} = \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{B} = \overrightarrow{AD} \).

Теперь нам нужно определить вектор CL. Обратим внимание, что вектор CL является суммой векторов AL и AC:

\[ \overrightarrow{CL} = \overrightarrow{AL} + \overrightarrow{AC} \]

Согласно условию, \( \overrightarrow{AL} = \frac{3}{5} \overrightarrow{AD} \). Также, по свойствам параллелограмма, \( \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \), так как противоположные стороны параллелограмма равны.

Теперь мы можем выразить вектор KL через векторы A и B:

\[ \overrightarrow{KL} = \frac{3}{5} \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AL} + \overrightarrow{AC} = \frac{3}{5} \overrightarrow{BC} + \frac{3}{5} \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} \]

Подставим значения для векторов BC, AD и AB согласно условию \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A} \) и \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{B} \):

\[ \overrightarrow{KL} = \frac{3}{5} \left( \frac{2}{5} \overrightarrow{BC} + \frac{2}{5} \overrightarrow{AD} \right) + \overrightarrow{A} + \overrightarrow{A} = \frac{3}{5} \left( \frac{2}{5} \overrightarrow{BC} + \frac{2}{5} \overrightarrow{AD} \right) + 2\overrightarrow{A} \]

Обратите внимание, что мы используем \(\overrightarrow{A}\) вместо \(\overrightarrow{AB}\), так как они равны.

Окончательно, разложение вектора KL на неколлинеарные векторы A и B будет иметь вид:

\[ \overrightarrow{KL} = \frac{3}{5} \left( \frac{2}{5} \overrightarrow{BC} + \frac{2}{5} \overrightarrow{AD} \right) + 2\overrightarrow{A} \]

Это и есть ответ на задачу.