ABCDFM...M1 is a regular hexagonal prism. A1D = 8 cm, ∠AА1D = 30° Find

Yangol

35

Дано: ABCDFM...M₁ – правильная шестиугольная призма, A₁D = 8 см, ∠AА₁D = 30°. Необходимо найти...

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ∆A₁AD. В нем известно, что A₁D = 8 см, ∠AА₁D = 30° и ∠AAD = 60° (так как в правильном шестиугольнике угол при вершине равен 120°, а угол ∠AА₁D = 30°).

2. Найдем длину стороны AD по теореме косинусов:
\[
AD = \sqrt{A₁D^2 + A₁A^2 - 2 \cdot A₁D \cdot A₁A \cdot \cos(∠AА₁D)}
\]

3. Подставим известные значения и вычислим длину стороны AD.

4. Так как ABCDFM...M₁ – правильная шестиугольная призма, то каждая боковая грань равнобедренный треугольник, а значит, у нас есть параллельные стороны и углы между ними равны.

5. Рассмотрим треугольник ∆A₁MB₁, где M – середина стороны FD, B₁ - середина стороны CD. Так как угол между сторонами AB₁ и MM₁ равен 90°, то ∆A₁MB₁ – прямоугольный.

6. Найдем длину боковой грани призмы AB₁:
\[
AB₁ = \sqrt{AD^2 + \left(\frac{FD}{2}\right)^2}
\]

7. Подставим найденные длины AD и FD и вычислим сторону AB₁.

8. Таким образом, мы определили необходимые длины сторон призмы ABCDFM...M₁.