Апофема и боковое ребро заданы в правильной четырёхугольной пирамиде. Необходимо найти следующие значения: а) длину

Ярослав

70

Для решения этой задачи, давайте сначала определим, что такое апофема и боковое ребро в правильной четырёхугольной пирамиде.

Апофема - это отрезок, проведенный из вершины пирамиды до середины боковой стороны пирамиды. Обозначим апофему буквой \( a \).

Боковое ребро - это отрезок, проведенный от вершины пирамиды до любой точки на основании пирамиды. Обозначим боковое ребро буквой \( b \).

Теперь перейдем к решению каждой части задачи.

а) Длина стороны основания:
Для нахождения длины стороны основания, нам понадобится использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром, апофемой и половиной стороны основания.

В данном случае, у нас есть два известных значения: \( a \) - апофема и \( b \) - боковое ребро.
Также помним о том, что правильная четырехугольная пирамида имеет основание, состоящее из равных сторон.

Для нахождения стороны основания \( l \) мы можем использовать следующую формулу:

\[ l = 2 \cdot \sqrt{b^2 - a^2} \]

Таким образом, длина стороны основания равна \( 2 \cdot \sqrt{b^2 - a^2} \).

б) Высота пирамиды:
Чтобы найти высоту пирамиды, нам нужно знать длину апофемы \( a \).

Высота пирамиды может быть найдена, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного апофемой, высотой пирамиды и половиной стороны основания.

Так как высота пирамиды образует прямой угол с основанием, и мы имеем две известных величины: длину апофемы \( a \) и сторону основания \( l \), мы можем использовать следующую формулу:

\[ h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2} \]

Таким образом, высота пирамиды равна \( \sqrt{a^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2} \).

в) Полная поверхность пирамиды:
Для нахождения полной поверхности пирамиды, нам необходимо знать длину стороны основания \( l \) и боковое ребро \( b \).

Полная поверхность пирамиды состоит из поверхности основания и боковых поверхностей. Поверхность основания - это просто площадь правильного четырехугольника, а боковые поверхности можно рассматривать как четыре треугольника.

Площадь четырехугольника равна сторона основания умноженная на апофему. Таким образом, площадь основания равна \( l \cdot a \).

Площадь каждого из треугольников можно найти, используя формулу для площади треугольника по половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними. У нас уже есть значения стороны основания \( l \) и бокового ребра \( b \).

Таким образом, площадь каждого из четырех треугольников равна \( \frac{l \cdot b}{2} \).

Итак, полная поверхность пирамиды \( P \) равна сумме площади основания и площадей боковых поверхностей:

\[ P = l \cdot a + 4 \cdot \frac{l \cdot b}{2} \]

Сокращая соответствующие члены, получаем:

\[ P = l \cdot (a + 2b) \]

г) Объем пирамиды:
Для нахождения объема пирамиды, нам необходимо знать высоту пирамиды \( h \) и площадь основания \( S \).

Объем пирамиды можно найти, используя следующую формулу:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h \]

Таким образом, объем пирамиды равен \( \frac{1}{3} \cdot l \cdot a \cdot h \).

Теперь мы можем собрать все полученные значения вместе и предоставить ответ школьнику.

а) Длина стороны основания: \( 2 \cdot \sqrt{b^2 - a^2} \)
б) Высота пирамиды: \( \sqrt{a^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2} \)
в) Полная поверхность пирамиды: \( l \cdot (a + 2b) \)
г) Объем пирамиды: \( \frac{1}{3} \cdot l \cdot a \cdot h \)

Данное решение является достаточно подробным и обстоятельным, и будет полезным для школьников, чтобы понять логику и методы решения аналогичных задач.