Чему будет равна скорость, с которой движутся оба шара вместе после столкновения?

Вихрь

7

Рассмотрим задачу о столкновении двух шаров со скоростями \(v_1\) и \(v_2\), массами \(m_1\) и \(m_2\) соответственно. После столкновения шары движутся вместе с общей скоростью \(v\). Нам требуется найти эту общую скорость.

Для решения данной задачи воспользуемся законами сохранения импульса и законами сохранения энергии.

Закон сохранения импульса утверждает, что сумма импульсов системы тел до и после столкновения должна быть равна. То есть, \(m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot v\).

Закон сохранения энергии гласит, что кинетическая энергия системы тел до и после столкновения должна быть одинаковой. То есть, \(\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot (m_1 + m_2) \cdot v^2\).

Теперь, имея систему из двух уравнений, мы можем решить ее относительно \(v\).

Для начала распишем первое уравнение:
\[m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot v.\]

Теперь, распишем второе уравнение:
\[\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot (m_1 + m_2) \cdot v^2.\]

Дальше, умножим оба выражения на 2:
\[2 \cdot (m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2) = 2 \cdot (m_1 + m_2) \cdot v,\]
\[m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot v,\]
\[\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot m_1 \cdot v_1^2 + 2 \cdot m_2 \cdot v_2^2) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot (m_1 + m_2) \cdot v^2).\]

Теперь мы имеем два равенства:
\[2 \cdot (m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2) = 2 \cdot (m_1 + m_2) \cdot v,\]
\[2 \cdot (m_1 \cdot v_1^2 + m_2 \cdot v_2^2) = 2 \cdot (m_1 + m_2) \cdot v^2.\]

Так как первое уравнение уже совпадает с нашим начальным уравнением, мы можем объединить их:
\[2 \cdot (m_1 \cdot v_1^2 + m_2 \cdot v_2^2) = (m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2)^2.\]

Продолжение следует...