Чему равен коэффициент жесткости пружины в данной системе, если она начинает плавно вращаться вокруг вертикальной

Viktorovna

42

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать формулу для периода колебаний роторных систем:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{k}}\]

Где:
\(T\) - период колебаний,
\(I\) - момент инерции системы,
\(k\) - коэффициент жесткости пружины.

Нам известно, что при достижении частоты вращения 50 об/мин, длина пружины увеличивается на 10% от её недеформированной длины. Предположим, что исходная недеформированная длина пружины равна \(L\), тогда увеличенная длина станет равной \(1.1L\).

Момент инерции системы можно выразить через массу \(m\) и расстояние \(r\) до оси вращения:

\[I = mr^2\]

Также нам известно, что период колебаний равен 60/50 секундам, так как 1 оборот соответствует 60 секундам. Подставив все известные значения в формулу периода колебаний, получим:

\[\frac{60}{50} = 2\pi\sqrt{\frac{mr^2}{k}}\]

Теперь, чтобы найти коэффициент жесткости пружины \(k\), мы можем преобразовать данное уравнение и решить его:

\[\frac{60}{50} = 2\pi\sqrt{\frac{mr^2}{k}}\]
\[\frac{30}{25} = \pi\sqrt{\frac{mr^2}{k}}\]
\[\frac{6}{5\pi} = \sqrt{\frac{mr^2}{k}}\]
\[\frac{36}{25\pi^2} = \frac{mr^2}{k}\]
\[k = \frac{mr^2}{\frac{36}{25\pi^2}}\]

Таким образом, коэффициент жесткости пружины в данной системе равен \(\frac{mr^2}{\frac{36}{25\pi^2}}\).

Обратите внимание, что для окончательного ответа нам необходимо знать значения массы \(m\) и расстояния \(r\), чтобы рассчитать коэффициент жесткости \(k\).