Чему равен косинус острого угла a в треугольнике АВС, если синус этого угла равен 3√11/10?

Пугающий_Шаман

36

Для решения этой задачи нам потребуется использовать определение тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике. Пусть угол \(a\) является острым углом треугольника \(ABC\). В данной задаче известен синус этого угла, равный \(\sin a = \frac{3\sqrt{11}}{10}\).

Синус угла в треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Мы можем использовать определение косинуса как отношение прилежащего катета к гипотенузе, чтобы найти косинус угла \(a\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\), где сторона \(AC\) является гипотенузой, сторона \(AB\) --- прилежащим катетом, а сторона \(BC\) --- противолежащим катетом угла \(a\).

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Мы можем использовать эту теорему, чтобы найти значение гипотенузы:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]

Теперь мы можем найти значение гипотенузы, зная значение синуса угла \(a\):
\[(AC)^2 = (AB)^2 + (BC)^2 \quad \textrm{(1)}\]
\[(\frac{3\sqrt{11}}{10})^2 = (AB)^2 + (BC)^2 \]
\[\frac{9 \cdot 11}{100} = AB^2 + BC^2\]
\[\frac{99}{100} = AB^2 + BC^2 \quad \textrm{(2)}\]

Теперь воспользуемся определением косинуса угла \(a\) для нахождения косинуса:
\[\cos a = \frac{AB}{AC}\]

Мы можем подставить найденное значение гипотенузы \(AC\) в эту формулу, чтобы выразить косинус:
\[\cos a = \frac{AB}{\sqrt{AB^2 + BC^2}} \quad \textrm{(3)}\]

Теперь у нас есть система уравнений (2) и (3), которая позволяет нам решить задачу.

Мы можем подставить значение из уравнения (2) в уравнение (3):
\[\cos a = \frac{AB}{\sqrt{\frac{99}{100}}} \]
\[\cos a = \frac{AB}{\frac{3\sqrt{11}}{10}} \]
\[\cos a = \frac{AB \cdot 10}{3\sqrt{11}} \]
\[\cos a = \frac{10AB}{3\sqrt{11}} \quad \textrm{(4)}\]

Таким образом, косинус острого угла \(a\) в треугольнике \(ABC\) равен \(\frac{10AB}{3\sqrt{11}}\).

Важно отметить, что для полного решения нам необходимо знать значения сторон \(AB\) и \(BC\) или ещё одну дополнительную информацию, чтобы у нас было достаточно уравнений для решения системы.