Чему равен объем шара, если конус вписан в него с радиусом основания, равным радиусу шара, и объем конуса составляет

Igorevich_1940

42

Для решения этой задачи нам понадобится несколько математических формул и шагов. Давайте приступим к решению.

Пусть \(R\) будет радиусом основания конуса и радиусом шара. Объем конуса можно выразить формулой:

\[V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi R^2 h,\]

где \(h\) - высота конуса.

Задача говорит нам, что объем конуса равен половине объема шара. Поэтому у нас есть уравнение:

\[\frac{1}{2} V_{шара} = \frac{1}{3} \pi R^2 h.\]

Теперь нам нужно найти высоту конуса \(h\). Для этого возьмем формулу объема шара:

\[V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R^3.\]

Подставим это значение в уравнение:

\[\frac{1}{2} \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \right) = \frac{1}{3} \pi R^2 h.\]

Упростим это уравнение:

\[\frac{2}{3} \pi R^3 = \frac{1}{3} \pi R^2 h.\]

Теперь делим обе части уравнения на \(\frac{1}{3} \pi R^2\):

\[\frac{2}{3} R = h.\]

Таким образом, мы получаем значение высоты конуса \(h\), которая равна \(\frac{2}{3} R\).

Теперь мы можем найти объем шара, подставив значение высоты конуса в формулу объема конуса:

\[V_{шара} = \frac{1}{3} \pi R^2 h.\]

Подставим \(h = \frac{2}{3} R\):

\[V_{шара} = \frac{1}{3} \pi R^2 \cdot \frac{2}{3} R.\]

Упрощаем это выражение:

\[V_{шара} = \frac{2}{9} \pi R^3.\]

Таким образом, объем шара равен \(\frac{2}{9} \pi R^3\). Это и будет нашим окончательным ответом.