Чему равен объем шара, который полностью находится внутри куба, ребро которого имеет такую же длину?

Щелкунчик

23

Объем шара, который полностью находится внутри куба, ребро которого имеет такую же длину, можно найти, используя геометрические свойства.

Для начала, давайте установим некоторые обозначения. Пусть длина ребра куба равна \(a\), а радиус шара, который полностью находится внутри куба, равен \(r\).

Обратите внимание, что когда шар полностью вписывается в куб, он касается всех шести граней куба посредством окружности. Это означает, что диаметр окружности, на которую шар касается граней куба, равен длине ребра куба \(a\). Поскольку диаметр равен удвоенному радиусу, мы можем записать это соотношение:

\[2r = a\]

Отсюда можно выразить радиус \(r\) через длину ребра \(a\):

\[r = \frac{a}{2}\]

Теперь мы можем найти объем шара, используя формулу для объема шара:

\[V = \frac{4}{3}\pi r^3\]

Подставляя значение радиуса \(r = \frac{a}{2}\) в эту формулу, получаем:

\[V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a}{2}\right)^3\]

Выполнив алгебраические операции для раскрытия скобок и упрощения, мы получаем:

\[V = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{a^3}{8}\]

Для дальнейшего упрощения этого выражения мы можем сократить числитель и знаменатель:

\[V = \frac{\pi a^3}{6}\]

Итак, объем шара, который полностью находится внутри куба с ребром длины \(a\), равен \(\frac{\pi a^3}{6}\).

Это объяснение должно помочь понять школьнику, как мы пришли к этому ответу. Пожалуйста, дайте мне знать, если у вас есть какие-либо вопросы или нужна дополнительная помощь!