Чему равен радиус вписанной окружности в трапеции, у которой нижнее основание вдвое больше верхнего и боковая сторона

Oreh

34

Для начала, обозначим верхнее основание трапеции как \(a\), а нижнее основание как \(2a\) (так как оно вдвое больше верхнего основания). Пусть \(b\) - это боковая сторона трапеции.

Теперь, чтобы найти радиус вписанной окружности, нам необходимо воспользоваться свойствами вписанного угла и вписанной окружности.

Сначала построим биссектрису одного из углов трапеции. Биссектриса разделит боковую сторону трапеции на две равные части. Обозначим эту точку пересечения как \(M\).

Так как биссектриса перпендикулярна основаниям трапеции, мы можем поделить трапецию на два треугольника: \(AMB\) и \(BMC\). Оба треугольника \(AMB\) и \(BMC\) являются прямоугольными, так как биссектриса перпендикулярна соответствующим основаниям.

Обозначим радиус вписанной окружности как \(r\). Тогда длина отрезка \(AM\) будет равна \(r\), а длина отрезка \(BM\) будет равна \(r\) (так как радиус вписанной окружности перпендикулярен соответствующим сторонам треугольников).

Из условия задачи, мы знаем, что боковая сторона трапеции равна \(b\). Таким образом, мы можем записать уравнение для треугольника \(BMC\):

\[\frac{b}{2} = r\]

Теперь рассмотрим треугольник \(AMB\). Мы знаем, что верхнее основание трапеции равно \(a\). Таким образом, мы можем записать уравнение для треугольника \(AMB\):

\[a = r\]

Учитывая полученные уравнения для треугольников \(BMC\) и \(AMB\), мы видим, что радиус \(r\) равен \(a\) и половине боковой стороны трапеции \(BM\):

\[r = \frac{b}{2}\]

Таким образом, радиус вписанной окружности в трапеции, у которой нижнее основание вдвое больше верхнего, равен половине длины боковой стороны.

Надеюсь, этот пошаговый ответ помог вам понять, как найти радиус вписанной окружности в данной трапеции. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!