Чему равна наименьшая сумма m+n, где (m,n) - пара натуральных чисел, удовлетворяющих условию m^2-n^2=2720?

Snegir_367

56

Давайте решим задачу шаг за шагом. У нас есть уравнение \(m^2 - n^2 = 2720\), где \(m\) и \(n\) - натуральные числа. Найдем наименьшую сумму \(m + n\), удовлетворяющую этому уравнению.

Перепишем уравнение в виде \((m+n)(m-n) = 2720\). Теперь рассмотрим все возможные значения для \((m+n)\) и \((m-n)\), которые могут дать нам произведение 2720.

Мы можем представить число 2720 в виде произведения двух чисел:

2720 = 1 * 2720
= 2 * 1360
= 4 * 680
= 5 * 544
= 8 * 340
= 10 * 272
= 16 * 170
= 17 * 160
= 20 * 136
= 32 * 85
= 34 * 80
= 40 * 68
= 64 * 43

Таким образом, мы нашли несколько комбинаций для \((m+n)(m-n)\). Теперь посмотрим, как каждая из этих комбинаций связана с \(m\) и \(n\).

Первая комбинация: \(m+n = 1\), \(m-n = 2720\).
Решая эту систему уравнений, получаем \(m = \frac{2721}{2}\) и \(n = \frac{2719}{2}\). Однако мы ищем натуральные числа \(m\) и \(n\), поэтому эту комбинацию мы отбрасываем.

Продолжим рассматривать остальные комбинации и проверим их на натуральность \(m\) и \(n\).

Проверка для второй комбинации: \(m+n = 2\), \(m-n = 1360\).
Решая эту систему уравнений, получаем \(m = 681\) и \(n = 679\). Сумма \(m+n = 681 + 679 = 1360\).

Аналогично, проверяя все остальные комбинации, мы получаем следующее:

- для третьей комбинации: \(m+n = 4\), \(m-n = 680\), \(m = 342\), \(n = 338\), \(m+n = 342 + 338 = 680\)
- для четвертой комбинации: \(m+n = 5\), \(m-n = 544\), \(m = 274\), \(n = 270\), \(m+n = 274 + 270 = 544\)
- для пятой комбинации: \(m+n = 8\), \(m-n = 340\), \(m = 170\), \(n = 170\), \(m+n = 170 + 170 = 340\)
- для шестой комбинации: \(m+n = 10\), \(m-n = 272\), \(m = 142\), \(n = 130\), \(m+n = 142 + 130 = 272\)

Таким образом, мы нашли несколько пар значений \((m,n)\), удовлетворяющих условию \(m^2 - n^2 = 2720\), и для каждой пары вычислили сумму \(m+n\). Самая маленькая сумма равна 1360 (при \(m = 681\) и \(n = 679\)).

Ответ: Наименьшая сумма \(m+n\), где \((m,n)\) - пара натуральных чисел и выполняется условие \(m^2 - n^2 = 2720\), равна 1360.