Чему равна разница между пятой частью в разложении степени бинома (2m+1)^6 и третьей частью в разложении степени бинома

Zhemchug

9

Давайте начнем с разложения степени бинома \((2m+1)^6\). Мы можем применить формулу бинома Ньютона для разложения этой степени. Формула бинома Ньютона гласит:

\[(a+b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^{n-1} b^1 + C(n,2)a^{n-2} b^2 + ... + C(n,n-1)a^1 b^{n-1} + C(n,n)a^0 b^n,\]

где \(C(n,k)\) - это биномиальный коэффициент и определяется как \(C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\).

Раскроем \((2m+1)^6\) с помощью формулы бинома Ньютона:

\[(2m+1)^6 = C(6,0)(2m)^6 \cdot 1^0 + C(6,1)(2m)^5 \cdot 1^1 + C(6,2)(2m)^4 \cdot 1^2 + C(6,3)(2m)^3 \cdot 1^3 + C(6,4)(2m)^2 \cdot 1^4 + C(6,5)(2m)^1 \cdot 1^5 + C(6,6)(2m)^0 \cdot 1^6.\]

Распишем это выражение:

\[(2m+1)^6 = 1 \cdot (2m)^6 + 6 \cdot (2m)^5 + 15 \cdot (2m)^4 + 20 \cdot (2m)^3 + 15 \cdot (2m)^2 + 6 \cdot (2m) + 1.\]

Теперь найдем третью часть в разложении степени бинома \((m+2)^4\). Проведя аналогичные вычисления, мы получим:

\[(m+2)^4 = 1 \cdot m^4 + 8 \cdot m^3 + 24 \cdot m^2 + 32 \cdot m + 16.\]

Теперь найдем разницу между пятой частью в разложении степени бинома \((2m+1)^6\) и третьей частью в разложении степени бинома \((m+2)^4\):

\[\text{Разница} = \text{Пятая часть в разложении степени бинома} - \text{Третья часть в разложении степени бинома}\]
\[= (15 \cdot (2m)^4) - (24 \cdot m^2) = 30m^4 - 24m^2.\]

Таким образом, разница между пятой частью в разложении степени бинома \((2m+1)^6\) и третьей частью в разложении степени бинома \((m+2)^4\) равна \(30m^4 - 24m^2\).