Чему равно расстояние между прямой A1D1 и плоскостью AB1C1D, если A1...D1 образуют куб, а AD = 4√2?

Шмель

17

Чтобы найти расстояние между прямой A1D1 и плоскостью AB1C1D, мы можем воспользоваться свойствами геометрии, а именно формулой для расстояния между точкой и прямой.

Первым шагом, давайте определим уравнения прямой A1D1 и плоскости AB1C1D.

Уравнение плоскости AB1C1D можно записать в виде уравнения плоскости через три точки:

\[AB1C1D: Ax + By + Cz + D = 0\]

Для нахождения коэффициентов A, B, C и D, нам нужно знать координаты трех точек, лежащих на плоскости. Поскольку A1...D1 образуют куб, мы можем использовать координаты этих точек для составления уравнения плоскости.

Дано, что AD = 4√2. Учитывая, что A1...D1 образуют куб, мы можем сделать вывод, что каждая сторона куба равна 4√2.

Теперь мы можем получить координаты точек A1, B1 и C1, используя данную информацию:

A1: (0, 0, 0)
B1: (4√2, 0, 0)
C1: (4√2, 4√2, 0)

Теперь, чтобы найти уравнение плоскости AB1C1D, мы можем использовать формулу для уравнения плоскости через три точки. Подставим координаты точек A1, B1 и C1 в уравнение:

\[AB1C1D: x - 4√2y + 4√2z = 0\]

Теперь мы имеем уравнение плоскости AB1C1D.

Далее, чтобы найти расстояние между прямой A1D1 и плоскостью AB1C1D, мы можем использовать формулу для расстояния между точкой и прямой.

Расстояние между прямой и плоскостью в трехмерном пространстве можно найти по формуле:

\[d = \frac{{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2 + C^2}}}}\]

где (x0, y0, z0) - произвольная точка на прямой.

В нашем случае, прямая A1D1 параллельна плоскости AB1C1D, поэтому мы можем взять любую точку на прямой. Примем точку D1 (4√2, 4√2, 4√2) как нашу произвольную точку.

Подставим координаты точки D1 и коэффициенты уравнения плоскости AB1C1D в формулу:

\[d = \frac{{|(4√2) - 4√2(4√2) + 4√2(4√2)|}}{{\sqrt{{1^2 + (-4√2)^2 + (4√2)^2}}}}\]

Упрощая формулу, получим:

\[d = \frac{{|(4√2) - 32 + 32|}}{{\sqrt{{1 + 32 + 32}}}}\]

\[d = \frac{{|(4√2)|}}{{\sqrt{{65}}}}\]

\[d = \frac{{4√2}}{{\sqrt{{65}}}}\]

Таким образом, расстояние между прямой A1D1 и плоскостью AB1C1D равно \(\frac{{4√2}}{{\sqrt{{65}}}}\).