Через два часа, какое расстояние будет между двумя автомобилями, которые начали двигаться одновременно со скоростями

Картофельный_Волк

56

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать теорему косинусов и измерения векторов. Давайте разберемся по шагам.

Шаг 1: Переведем скорости автомобилей в метры в секунду, чтобы работать с единицами измерения СИ. Для этого умножим скорости на \( \frac{1000}{3600} \) (поскольку 1 км/ч равно \( \frac{1000}{3600} \) м/с). Таким образом, скорость первого автомобиля будет \( \frac{40 \times 1000}{3600} = \frac{100}{9} \) м/с, а скорость второго автомобиля будет \( \frac{50 \times 1000}{3600} = \frac{125}{9} \) м/с.

Шаг 2: Рассмотрим движение автомобилей относительно друг друга. У нас есть два вектора скорости, которые мы можем представить в виде векторов составляющих: \( \vec{V_1} = V_1 \cos(\theta_1) \hat{i} + V_1 \sin(\theta_1) \hat{j} \) и \( \vec{V_2} = V_2 \cos(\theta_2) \hat{i} + V_2 \sin(\theta_2) \hat{j} \), где \( V_1 \) и \( V_2 \) - скорости автомобилей, \( \theta_1 \) и \( \theta_2 \) - углы направлений движения относительно положительного направления оси \( \hat{i} \). В данной задаче \( \theta_1 = \theta_2 = 60^\circ \). Посчитаем значения этих векторов составляющих:

\( \vec{V_1} = \frac{100}{9} \cos(60) \hat{i} + \frac{100}{9} \sin(60) \hat{j} = \frac{100}{9} \cdot \frac{1}{2} \hat{i} + \frac{100}{9} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{j} = \frac{50}{9} \hat{i} + \frac{50\sqrt{3}}{9} \hat{j} \)

\( \vec{V_2} = \frac{125}{9} \cos(60) \hat{i} - \frac{125}{9} \sin(60) \hat{j} = \frac{125}{9} \cdot \frac{1}{2} \hat{i} - \frac{125}{9} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{j} = \frac{25}{3} \hat{i} - \frac{125\sqrt{3}}{9} \hat{j} \)

Шаг 3: Мы можем найти разность между позициями автомобилей в момент времени t. Пусть \( \vec{r_1} \) представляет позицию первого автомобиля, а \( \vec{r_2} \) - позицию второго автомобиля. Мы хотим найти модуль разности позиций: \( |\vec{r_1} - \vec{r_2}| \). Таким образом, \( |\vec{r_1} - \vec{r_2}| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} \), где \( \Delta x \) и \( \Delta y \) - разности между координатами x и y соответственно.

Шаг 4: Теперь найдем \( \Delta x \) и \( \Delta y \). Учитывая, что прошло два часа, или 7200 секунд, мы можем записать:

\( \Delta x = (V_{1x} - V_{2x}) \cdot t = \left(\frac{50}{9} - \frac{25}{3} \right) \cdot 7200 \)

\( \Delta y = (V_{1y} - V_{2y}) \cdot t = \left(\frac{50\sqrt{3}}{9} + \frac{125\sqrt{3}}{9} \right) \cdot 7200 \)

Шаг 5: Подставим значения и вычислим:

\( \Delta x = \left(\frac{50}{9} - \frac{25}{3} \right) \cdot 7200 = \left(\frac{500 - 75}{9} \right) \cdot 7200 = \frac{425}{9} \cdot 7200 \approx 37778, \\
\Delta y = \left(\frac{50\sqrt{3}}{9} + \frac{125\sqrt{3}}{9} \right) \cdot 7200 = \frac{175\sqrt{3}}{9} \cdot 7200 \approx 42568 \)

Шаг 6: Наконец, найдем модуль разности позиций:

\( |\vec{r_1} - \vec{r_2}| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} \)

\( |\vec{r_1} - \vec{r_2}| = \sqrt{37778^2 + 42568^2} \approx 55617 \) метров.

Итак, через два часа расстояние между двумя автомобилями составит примерно 55617 метров.