Из точки M на диагональ AC прямоугольника ABCD опущен перпендикуляр MK. Известно, что AC=17, AD=15, AM=10,2. Требуется

Глория

67

a) Для решения этой задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора и свойства прямоугольников.

Пусть точка K является основанием перпендикуляра MK, а точки D и M - вершинами треугольника AMD.

Используем теорему Пифагора для нахождения длины отрезка DK:
DK^2 = AD^2 - AK^2

Поскольку прямоугольник ABCD является прямоугольником, его диагонали имеют равную длину:
AC^2 = AD^2 + DC^2

Зная значение диагонали AC, подставим известные значения и найдем DC:
17^2 = 15^2 + DC^2
289 = 225 + DC^2
DC^2 = 289 - 225
DC^2 = 64
DC = √64
DC = 8

Теперь найдем AK, используя теорему Пифагора:
AK^2 = AM^2 - MK^2
AK^2 = 10.2^2 - MK^2

Так как треугольник AMD и треугольник AMC имеют общую высоту (отрезок MK), мы можем использовать их площади, чтобы найти отношение площадей треугольников.

Площадь треугольника AMD: S_AMD = (1/2) * AD * MK
Площадь треугольника AMC: S_AMC = (1/2) * AC * MK

b) Теперь найдем длину отрезка MK, используя теорему Пифагора:
MK^2 = AC^2 - AK^2
MK^2 = 17^2 - AK^2

Теперь можем выразить отношение площадей треугольников:
Отношение площадей треугольников АDC и AMC:
S_ADC/S_AMC = (S_AMD + S_AMC)/S_AMC = ((1/2) * AD * MK + (1/2) * AC * MK)/(1/2 * AC * MK) = (AD + AC)/AC

Таким образом, отношение площадей треугольников АDC и AMC равно (AD + AC)/AC.

Итак, пошаговое решение задачи:
a) Найдем длину отрезка DK:
- Вычислим длину отрезка DC с помощью теоремы Пифагора: DC = √(AC^2 - AD^2)
- Подставим известные значения: DC = √(289 - 225) = √64 = 8
- Вычислим длину отрезка DK с помощью теоремы Пифагора: DK = √(AD^2 - AK^2)
- Подставим известные значения: DK = √(225 - 10.2^2) = √(225 - 104.04) = √120.96 ≈ 10.99

b) Найдем отношение площадей треугольников АDC и AMC:
- Определим длину отрезка MK с помощью теоремы Пифагора: MK = √(AC^2 - AK^2)
- Подставим известные значения: MK = √(289 - 10.2^2) = √(289 - 104.04) = √184.96 ≈ 13.60
- Найдем отношение площадей треугольников АDC и AMC: (AD + AC)/AC = (15 + 17)/17 = 32/17 ≈ 1.88

Таким образом, длина перпендикуляра MK составляет около 10.99, а отношение площадей треугольников АDC и AMC примерно равно 1.88.