Что это будет, если мы найдем скалярное произведение вектора (a-b)*b, где вектор a = (2, -1, 1) и вектор b = 3i

Cherepashka_Nindzya

32

Для решения этой задачи, давайте сначала разберемся, что такое скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение двух векторов представляет собой операцию, результатом которой является число (скаляр). Оно определяется по формуле: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)\), где \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) - векторы, \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) - длины векторов, \(\theta\) - угол между ними.

Теперь приступим к решению задачи. У нас даны вектора \(\vec{a} = (2, -1, 1)\) и \(\vec{b} = 3\vec{i} - 2\vec{j}\). Найдем сначала их разность.

\(\vec{a} - \vec{b} = (2, -1, 1) - (3\vec{i} - 2\vec{j})\)

Применим операцию вычитания:

\(\vec{a} - \vec{b} = (2 - 3, -1 - (-2), 1 - 0)\)

Упрощая выражение:

\(\vec{a} - \vec{b} = (-1, 1, 1)\)

Теперь можем найти скалярное произведение \((\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{b}\).

\((\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{b} = (-1, 1, 1) \cdot (3\vec{i} - 2\vec{j})\)

Применим формулу скалярного произведения:

\((\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{b} = |\vec{a} - \vec{b}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)\)

Здесь \(\theta\) - угол между векторами \(\vec{a} - \vec{b}\) и \(\vec{b}\). Так как векторы заданы числами, мы можем найти угол \(\theta\) используя формулу:

\(\cos(\theta) = \dfrac{(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{b}}{|\vec{a} - \vec{b}| \cdot |\vec{b}|}\)

Теперь вычислим числитель и знаменатель:

\((\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{b} = (-1, 1, 1) \cdot (3\vec{i} - 2\vec{j}) = (-1 \cdot 3) + (1 \cdot -2) + (1 \cdot 0)\)

\((\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{b} = -3 - 2 + 0 = -5\)

Теперь найдем длины векторов \(\vec{a} - \vec{b}\) и \(\vec{b}\):

\(|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}\)
\(|\vec{b}| = \sqrt{(3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{13}\)

Подставим значения обратно в формулу:

\(\cos(\theta) = \dfrac{-5}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{13}}\)

Теперь найдем угол \(\theta\) с помощью арккосинуса:

\(\theta = \arccos\left(\dfrac{-5}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{13}}\right)\)

Вычисляя численное значение угла, получаем:

\(\theta \approx 154.47\) градусов

Таким образом, скалярное произведение вектора \((\vec{a} - \vec{b})\) и вектора \(\vec{b}\) равно \(-5\) и угол между ними составляет приблизительно \(154.47\) градусов.