Что такое косинус угла в треугольнике ABC, где A(-4;8), B(2;14) и C(4;0)?

Янтарь

22

Косинус угла в треугольнике ABC можно определить с использованием координатных точек вершин A, B и C. Для начала, нам нужно найти длины сторон треугольника. Давайте проделаем следующие шаги:

1. Найдем длину стороны AB. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

\[AB = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек A и B соответственно.
Подставим значения координат в формулу:

\[AB = \sqrt{{(2 - (-4))^2 + (14 - 8)^2}} = \sqrt{{6^2 + 6^2}} = \sqrt{{36 + 36}} = \sqrt{{72}}\]

2. Аналогично найдем длины сторон BC и AC:

\[BC = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

\[BC = \sqrt{{(4 - 2)^2 + (0 - 14)^2}} = \sqrt{{2^2 + (-14)^2}} = \sqrt{{4 + 196}} = \sqrt{{200}}\]

\[AC = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

\[AC = \sqrt{{(4 - (-4))^2 + (0 - 8)^2}} = \sqrt{{8^2 + (-8)^2}} = \sqrt{{64 + 64}} = \sqrt{{128}}\]

3. Теперь, применяя формулу косинуса для угла, можно вычислить косинус угла A. Формула имеет вид:

\[ \cos(A) = \frac{{b^2 + c^2 - a^2}}{{2 \cdot b \cdot c}} \]

где A - угол при вершине A, a - сторона противолежащая этому углу (BC), b - сторона противолежащая вершине B (AC), c - сторона противолежащая вершине C (AB).

Подставим значения длин сторон в формулу:

\[ \cos(A) = \frac{{(\sqrt{{200}})^2 + (\sqrt{{128}})^2 - (\sqrt{{72}})^2}}{{2 \cdot \sqrt{{200}} \cdot \sqrt{{128}}}} \]

\[ \cos(A) = \frac{{200 + 128 - 72}}{{2 \cdot \sqrt{{200}} \cdot \sqrt{{128}}}} \]

\[ \cos(A) = \frac{{256}}{{2 \cdot \sqrt{{200}} \cdot \sqrt{{128}}}} \]

\[ \cos(A) = \frac{{256}}{{2 \cdot \sqrt{{25600}}}} \]

\[ \cos(A) = \frac{{256}}{{2 \cdot 160}} = \frac{{256}}{{320}} = \frac{{4}}{{5}} \]

Таким образом, косинус угла A в треугольнике ABC равен \(\frac{{4}}{{5}}\).