Cosine B is equal to 38, angle C is equal to 90 degrees, and AC is equal to 64 in triangle ABC. Find

Борис

52

Чтобы найти значение той стороны треугольника ABC, которую мы ищем, нам потребуется использовать косинусную теорему и теорему Пифагора.

1. Косинусная теорема:
В соответствии с косинусной теоремой, мы можем использовать формулу \( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(B) \), чтобы найти сторону \( b \), где \( a \) и \( c \) - известные стороны, а \( B \) - известный угол.

Мы знаем, что \( \cos(B) = \frac{38}{100} = 0.38 \) (так как \( \cos(B) \) равно отношению прилежащей стороны к гипотенузе прямоугольного треугольника со сторонами 100 и 38).

Подставляя известные значения в формулу, получим:
\[ b^2 = 64^2 + c^2 - 2 \cdot 64 \cdot c \cdot 0.38 \]

2. Теорема Пифагора:
Мы также знаем, что в прямоугольном треугольнике с прямым углом \( C \) сторона \( AC \) является гипотенузой. Следовательно, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти значение стороны \( c \).

Формула теоремы Пифагора выглядит следующим образом: \( c^2 = a^2 + b^2 \).

Подставляя известные значения, получим:
\[ 64^2 = a^2 + b^2 \]

3. Решение:
Теперь у нас есть два уравнения:
\[ b^2 = 64^2 + c^2 - 2 \cdot 64 \cdot c \cdot 0.38 \]
\[ 64^2 = a^2 + b^2 \]

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения сторон \( a \) и \( b \).

1) Решение первого уравнения:

Раскрываем двойное произведение в первом уравнении:
\[ b^2 = 64^2 + c^2 - 2 \cdot 64 \cdot c \cdot 0.38 \]
\[ b^2 = 4096 + c^2 - 48.64c \]

2) Решение второго уравнения:

Вычитаем \( b^2 \) из обеих сторон второго уравнения:
\[ 64^2 - b^2 = a^2 \]

3) Подставляем значение \( a^2 \) из второго уравнения в первое уравнение:
\[ b^2 = 4096 + c^2 - 48.64c \]
\[ 64^2 - b^2 = c^2 - 48.64c + 4096 \]

4) Раскрываем скобки и упрощаем уравнение:
\[ 4096 - b^2 = c^2 - 48.64c + 4096 \]
\[ -b^2 = c^2 - 48.64c \]

5) Подставляем \( -b^2 \) из пятого шага в уравнение на шаге 1:
\[ -b^2 = 4096 + c^2 - 48.64c \]

6) Сокращаем уравнение, вычитая \( c^2 \) из обеих сторон:
\[ -b^2 - c^2 = 4096 - 48.64c \]

7) Подставляем значение \( -b^2 \) из пятого шага в уравнение на шаге 6:
\[ c^2 - c^2 = 4096 - 48.64c \]
\[ 0 = 4096 - 48.64c \]

8) Решаем уравнение для \( c \):
\[ 48.64c = 4096 \]
\[ c = \frac{4096}{48.64} \]

Вычисляем \( c \):
\[ c = 84.07 \]

9) Подставляем значение \( c \) во второе уравнение, чтобы найти \( b \):
\[ 64^2 - b^2 = c^2 \]
\[ 64^2 - b^2 = 84.07^2 \]
\[ b^2 = 64^2 - 84.07^2 \]

Вычисляем \( b \):
\[ b = \sqrt{64^2 - 84.07^2} \]
\[ b = 51.31 \]

Таким образом, мы нашли значения сторон треугольника ABC:
Сторона AC равна 64,
сторона BC равна 51.31,
сторона AB равна 84.07.