Дано: точка А с координатами (12 ; -4), точка В с координатами (-8 ; -6), точка С с координатами (0 ; 9). Найти

Роза

36

Добро пожаловать! Давайте решим данную задачу шаг за шагом, чтобы ответ был понятен.

а) Для нахождения координат вектора ВС, нужно вычесть координаты точки C из координат точки B. Так как вектор задается разностью координат, получаем:
\[\overrightarrow{ВС} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)\]

Подставим значения координат:
\[\overrightarrow{ВС} = (-8 - 0, -6 - 9)\]
\[\overrightarrow{ВС} = (-8, -15)\]

Ответ: Координаты вектора ВС равны (-8, -15).

б) Для вычисления длины вектора АВ, нужно использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного координатами точек A и B. Формула для вычисления длины вектора на плоскости:
\[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

Подставим значения координат:
\[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{((-8) - 12)^2 + ((-6) - (-4))^2}\]
\[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-20)^2 + (-2)^2}\]
\[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{400 + 4}\]
\[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{404}\]
\[|\overrightarrow{AB}| \approx 20.1\]

Ответ: Длина вектора АВ примерно равна 20.1.

в) Чтобы найти координаты середины отрезка АС, нужно взять средние значения координат точек A и C. Формула для вычисления координат середины отрезка:
\[(x_m, y_m) = \left(\frac{{x_1 + x_2}}{2}, \frac{{y_1 + y_2}}{2}\right)\]

Подставим значения координат:
\[(x_m, y_m) = \left(\frac{{12 + 0}}{2}, \frac{{-4 + 9}}{2}\right)\]
\[(x_m, y_m) = \left(\frac{{12}}{2}, \frac{{5}}{2}\right)\]
\[(x_m, y_m) = (6, 2.5)\]

Ответ: Координаты середины отрезка АС равны (6, 2.5).

г) Чтобы найти периметр треугольника АВС, нужно сложить длины всех его сторон. Для этого найдем длины сторон АВ, ВС и АС, используя формулу для длины вектора:

Длина стороны АВ: подсчитана в пункте б) и равна 20.1.

Длина стороны ВС:
\[|\overrightarrow{ВС}| = \sqrt{(-8)^2 + (-15)^2}\]
\[|\overrightarrow{ВС}| = \sqrt{64 + 225}\]
\[|\overrightarrow{ВС}| = \sqrt{289}\]
\[|\overrightarrow{ВС}| = 17\]

Длина стороны АС:
\[|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(0 - 12)^2 + (9 - (-4))^2}\]
\[|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-12)^2 + 13^2}\]
\[|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{144 + 169}\]
\[|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{313}\]
\[|\overrightarrow{AC}| \approx 17.68\]

Теперь сложим длины всех трех сторон:
Периметр треугольника АВС = АB + BC + AC = 20.1 + 17 + 17.68 ≈ 54.78.

Ответ: Периметр треугольника АВС примерно равен 54.78.

д) Чтобы найти длину медианы, нужно разделить каждую сторону пополам. Формула для длины медианы в треугольнике:
\[m = \frac{1}{2} \sqrt{2(b^2 + c^2) - a^2}\]
где a, b, c - длины сторон треугольника.

Для удобства обозначим стороны треугольника АВС: AB = a, BC = b, AC = c.

По формуле получаем:
медиана из точки A = \[m_A = \frac{1}{2}\sqrt{2(\overrightarrow{BC}^2 + \overrightarrow{AC}^2) - \overrightarrow{AB}^2}\]
медиана из точки B = \[m_B = \frac{1}{2}\sqrt{2(\overrightarrow{AC}^2 + \overrightarrow{AB}^2) - \overrightarrow{BC}^2}\]
медиана из точки C = \[m_C = \frac{1}{2}\sqrt{2(\overrightarrow{AB}^2 + \overrightarrow{BC}^2) - \overrightarrow{AC}^2}\]

Подставим значения из предыдущих вычислений:
медиана из точки A = \[m_A = \frac{1}{2}\sqrt{2(17.68^2 + 20.1^2) - 17^2}\]
медиана из точки B = \[m_B = \frac{1}{2}\sqrt{2(17^2 + 20.1^2) - 17.68^2}\]
медиана из точки C = \[m_C = \frac{1}{2}\sqrt{2(17^2 + 17.68^2) - 20.1^2}\]

Введите эти формулы в калькулятор, чтобы получить окончательные значения.

Ответ: Длины медиан треугольника АВС можно вычислить с помощью данных формул.

Если у вас возникнут дополнительные вопросы или нужно будет решить еще что-то, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать!