Дано: Трапеция ABCD, где вектор DC равен вектору A, вектор DA равен вектору B и вектор BC равен половине вектора

Skvoz_Pesok

7

Для начала, давайте взглянем на рисунок и обозначим известные векторы:

\(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{A}\)
\(\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{B}\)
\(\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\)

Мы хотим выразить через векторы \(\overrightarrow{A}\) и \(\overrightarrow{B}\) векторы \(\overrightarrow{DB}\), \(\overrightarrow{CA}\), \(\overrightarrow{BO}\) и \(\overrightarrow{OC}\).

1) Выразим вектор \(\overrightarrow{DB}\):

Так как \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{A}\), то:

\(\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB}\)

Подставляя известные значения, получаем:

\(\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{B} + \overrightarrow{AB}\)

2) Выразим вектор \(\overrightarrow{CA}\):

Так как \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{A}\), то:

\(\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AD}\)

Подставляя известные значения, получаем:

\(\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}\)

3) Выразим вектор \(\overrightarrow{BO}\):

Так как \(\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\), то:

\(\overrightarrow{BO} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{CO}\)

Мы не знаем вектор \(\overrightarrow{CO}\), но мы можем его выразить, зная, что точка \(O\) - точка пересечения диагоналей трапеции \(ABCD\). Давайте обратимся к свойству пересекающихся диагоналей трапеции:

\(\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{CO} = \overrightarrow{CA}\)

Решим это уравнение относительно \(\overrightarrow{CO}\):

\(\overrightarrow{CO} = \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{DB}\)

Подставляя значения \(\overrightarrow{CA}\) и \(\overrightarrow{DB}\), получаем:

\(\overrightarrow{CO} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} - \overrightarrow{B} - \overrightarrow{AB}\)

4) Теперь, когда у нас есть выражение для вектора \(\overrightarrow{CO}\), мы можем выразить вектор \(\overrightarrow{OC}\) следующим образом:

\(\overrightarrow{OC} = -\overrightarrow{CO}\)

Таким образом, мы выразили через векторы \(\overrightarrow{A}\) и \(\overrightarrow{B}\) векторы \(\overrightarrow{DB}\), \(\overrightarrow{CA}\), \(\overrightarrow{BO}\) и \(\overrightarrow{OC}\):

\(\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{B} + \overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}\)
\(\overrightarrow{BO} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{CO}\), где \(\overrightarrow{CO} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} - \overrightarrow{B} - \overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{OC} = -\overrightarrow{CO}\)

Я надеюсь, что это решение понятно. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.