Даны векторы a, b и c. Требуется: а) вычислить смешанное произведение трех векторов; б) найти модуль векторного

Тропик_18

69

Добро пожаловать! Давайте пошагово решим задачу и найдем все необходимые значения.

а) Для вычисления смешанного произведения трех векторов нам понадобятся векторы a, b и c. Смешанное произведение задается формулой \( a \cdot (b \times c) \), где \( \cdot \) обозначает скалярное произведение, а \( \times \) - векторное произведение. Давайте найдем эти значения поочередно.

1. Вычислим \( b \times c \):

\[ b \times c = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 2 & -3 \end{vmatrix} \]

Раскроем определитель:

\( b \times c = (1 \cdot -3 - 4 \cdot 2)i - (0 \cdot -3 - 4 \cdot 5)j + (0 \cdot 2 - 5 \cdot 1)k \)

\( b \times c = -11i -20j -5k \)

2. Теперь найдем \( a \cdot (b \times c) \):

\[ a \cdot (b \times c) = (2 \cdot -11) + (-3 \cdot -20) + (1 \cdot -5) \]

\( a \cdot (b \times c) = -22 + 60 - 5 \)

\( a \cdot (b \times c) = 33 \)

Ответ: Смешанное произведение трех векторов a, b и c равно 33.

б) Для вычисления модуля векторного произведения нам понадобятся векторы a и c. Модуль векторного произведения вычисляется по формуле \( |a \times c| = \sqrt{(a \times c) \cdot (a \times c)} \). Давайте найдем это значение.

1. Вычислим \( a \times c \):

\[ a \times c = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & -3 & 1 \\ 5 & 2 & -3 \end{vmatrix} \]

Раскроем определитель:

\( a \times c = (-3 \cdot -3 - 1 \cdot 2)i - (2 \cdot -3 - 5 \cdot 1)j + (2 \cdot 2 - 5 \cdot -3)k \)

\( a \times c = 5i - 11j - 19k \)

2. Теперь найдем модуль вектора \( a \times c \):

\[ |a \times c| = \sqrt{(5i - 11j - 19k) \cdot (5i - 11j - 19k)} \]

\[ |a \times c| = \sqrt{5^2 + (-11)^2 + (-19)^2} \]

\[ |a \times c| = \sqrt{25 + 121 + 361} \]

\[ |a \times c| = \sqrt{507} \]

Ответ: Модуль векторного произведения равен \( \sqrt{507} \).

в) Для вычисления скалярного произведения двух векторов нам понадобятся векторы b и -4c. Скалярное произведение задается формулой \( b \cdot -4c \). Обратите внимание, что мы умножаем вектор c на -4, чтобы получить -4c. Давайте найдем значение этого скалярного произведения.

1. Найдем -4c:

\[ -4c = -4(5i + 2j - 3k) \]

\[ -4c = -20i - 8j + 12k \]

2. Теперь вычислим скалярное произведение:

\[ b \cdot -4c = (2i - 6j + 4k) \cdot (-20i - 8j + 12k) \]

\[ b \cdot -4c = (2 \cdot -20) + (-6 \cdot -8) + (4 \cdot 12) \]

\[ b \cdot -4c = -40 + 48 + 48 \]

\[ b \cdot -4c = 56 \]

Ответ: Скалярное произведение двух векторов равно 56.

г) Чтобы проверить, являются ли два вектора коллинеарными или ортогональными, нам нужны векторы a и c. Давайте выясним, какое отношение есть между ними.

1. Проверим, являются ли они коллинеарными. Для этого нам нужно проверить, что вектор a является кратным вектора c:

\[ a = 2i - 3j + k \]

\[ c = 5i + 2j - 3k \]

Мы можем записать это в виде отношения:

\[ \frac{a}{c} = \frac{2i - 3j + k}{5i + 2j - 3k} \]

Это отношение не может быть упрощено, поэтому они не являются коллинеарными.

2. Теперь проверим, являются ли они ортогональными. Для этого нам нужно убедиться, что скалярное произведение векторов равно нулю:

\[ a \cdot c = (2i - 3j + k) \cdot (5i + 2j - 3k) \]

\[ a \cdot c = (2 \cdot 5) + (-3 \cdot 2) + (1 \cdot -3) \]

\[ a \cdot c = 10 - 6 - 3 \]

\[ a \cdot c = 1 \]

Ответ: Вектора a и c не являются коллинеарными и не являются ортогональными.

д) Чтобы проверить, являются ли три вектора компланарными, нам понадобятся векторы a, 2b и 3c. Давайте выясним это.

1. Умножим вектор b на 2 и вектор c на 3:

\[ 2b = 2(j + 4k) = 2j + 8k \]
\[ 3c = 3(5i + 2j - 3k) = 15i + 6j - 9k \]

2. Теперь проверим, являются ли вектора a, 2b и 3c компланарными. Для этого нам нужно убедиться, что смешанное произведение трех векторов равно нулю:

\[ a \cdot (2b \times 3c) \]

После вычисления векторного произведения \( 2b \times 3c \) и умножения его на а, смешанное произведение даст нам окончательный результат. Однако, так как в задаче приведены только значения векторов a, b и c, мы не можем решить эту часть задачи, так как нам неизвестны значения векторов.

Ответ: Чтобы проверить, будут ли три вектора компланарными, необходимо знать значения а, b и c.

Это были шаги решения задачи. Если у вас возникли еще вопросы или вам нужно что-то еще, пожалуйста, сообщите мне!