Диагонали прямоугольника MNKL пересекаются в точке Q. Каков угол между векторами NM

Муся_9711

2

Чтобы найти угол между векторами NM и LK, мы можем использовать теорию скалярного произведения векторов.
Давайте рассмотрим прямоугольник MNKL с диагоналями, как показано на рисунке:

\[
\begin{array}{cccc}
& M & & N \\
& & \uparrow & \\
L & - & - & - Q \\
& & \downarrow & \\
& K & & \\
\end{array}
\]

Вектор NM можно представить как разность координат векторов N и M:

\[ \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{M} \]

Также вектор LK можно представить как разность координат векторов L и K:

\[ \overrightarrow{LK} = \overrightarrow{L} - \overrightarrow{K} \]

Теперь мы можем найти скалярное произведение этих двух векторов:

\[ \overrightarrow{NM} \cdot \overrightarrow{LK} = (\overrightarrow{N} - \overrightarrow{M}) \cdot (\overrightarrow{L} - \overrightarrow{K}) \]

Раскроем это скалярное произведение:

\[ \overrightarrow{NM} \cdot \overrightarrow{LK} = \overrightarrow{N} \cdot \overrightarrow{L} - \overrightarrow{N} \cdot \overrightarrow{K} - \overrightarrow{M} \cdot \overrightarrow{L} + \overrightarrow{M} \cdot \overrightarrow{K} \]

Используя свойства скалярного произведения векторов, мы можем переписать это как:

\[ \overrightarrow{NM} \cdot \overrightarrow{LK} = -(\overrightarrow{N} \cdot \overrightarrow{K}) + (\overrightarrow{N} \cdot \overrightarrow{L}) + (\overrightarrow{M} \cdot \overrightarrow{K}) - (\overrightarrow{M} \cdot \overrightarrow{L}) \]

Поскольку прямоугольник MNKL является прямоугольником, диагонали MN и LK являются взаимно перпендикулярными. Поэтому скалярное произведение векторов, образующих прямые углы, равно нулю. Это означает, что:

\[ \overrightarrow{N} \cdot \overrightarrow{K} = 0 \]
\[ \overrightarrow{N} \cdot \overrightarrow{L} = 0 \]
\[ \overrightarrow{M} \cdot \overrightarrow{K} = 0 \]
\[ \overrightarrow{M} \cdot \overrightarrow{L} = 0 \]

Подставим эти значения в предыдущее уравнение:

\[ \overrightarrow{NM} \cdot \overrightarrow{LK} = -(\overrightarrow{N} \cdot \overrightarrow{K}) + (\overrightarrow{N} \cdot \overrightarrow{L}) + (\overrightarrow{M} \cdot \overrightarrow{K}) - (\overrightarrow{M} \cdot \overrightarrow{L}) = -0 + 0 + 0 - 0 = 0 \]

Таким образом, скалярное произведение векторов NM и LK равно нулю. А как мы знаем из алгебры, скалярное произведение векторов равно произведению длин векторов на косинус угла между ними:

\[ \overrightarrow{NM} \cdot \overrightarrow{LK} = |\overrightarrow{NM}| \cdot |\overrightarrow{LK}| \cdot \cos(\theta) \]

Поскольку скалярное произведение равно нулю, косинус угла между векторами равен нулю:

\[ \cos(\theta) = 0 \]

Угол между векторами NM и LK равен 90 градусов или прямому углу.

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам понять, как найти угол между векторами NM и LK в прямоугольнике MNKL. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!