Для данного натурального числа n≥2 найдите сумму выражения 1×2+2×3+...+(n-1)×n. Представьте ответ в виде вычисленного

Grigoriy

55

Хорошо, давайте решим данную задачу step-by-step:

Мы должны найти сумму выражения \(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \ldots + (n-1) \cdot n\) для данного натурального числа \(n \geq 2\).

Для начала, давайте посмотрим на пример с \(n = 4\):

Выражение, которое мы должны посчитать, будет выглядеть следующим образом: \(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4\).

Теперь можем ли мы упростить это выражение?

Да, мы можем заметить, что каждое слагаемое содержит два числа, где второе число является первым числом плюс единица. Таким образом, мы можем переписать это выражение следующим образом:

\(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 = 2 + 6 + 12\).

Теперь давайте найдем сумму всех слагаемых:

\(2 + 6 + 12 = 20\).

Таким образом, для \(n = 4\) сумма данного выражения равна 20.

Теперь рассмотрим общий случай с произвольным \(n\).

Мы видим, что у нас есть \(n-1\) слагаемое вида \(k \cdot (k+1)\), где \(k\) принимает значения от 1 до \(n-1\). Мы можем записать сумму всех слагаемых в виде:

\[1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \ldots + (n-1) \cdot n = \sum_{k=1}^{n-1} k \cdot (k+1)\].

Для более удобной записи и вычислений, давайте упростим выражение:

\[\sum_{k=1}^{n-1} k \cdot (k+1) = \sum_{k=1}^{n-1} (k^2 + k)\].

Теперь мы можем применить формулы для суммы чисел и суммы квадратов натуральных чисел:

\[\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)(n)(2n-1)}{6}\] (сумма квадратов натуральных чисел)

\[\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)(n)}{2}\] (сумма натуральных чисел)

Теперь, используя эти формулы, мы можем вычислить значение выражения:

\[\sum_{k=1}^{n-1} (k^2 + k) = \frac{(n-1)(n)(2n-1)}{6} + \frac{(n-1)(n)}{2}\].

Таким образом, итоговый ответ будет следующим:

\[\sum_{k=1}^{n-1} k \cdot (k+1) = \frac{(n-1)(n)(2n-1)}{6} + \frac{(n-1)(n)}{2}\].

Например, для входных данных \(n = 4\) мы имеем:

\[\sum_{k=1}^{4-1} k \cdot (k+1) = \frac{(4-1)(4)(2\cdot4-1)}{6} + \frac{(4-1)(4)}{2} = 20\].

Таким образом, ответ для \(n = 4\) равен \(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 = 20\).

Аналогичным образом, для входных данных \(n = 2\) мы имеем:

\[\sum_{k=1}^{2-1} k \cdot (k+1) = \frac{(2-1)(2)(2\cdot2-1)}{6} + \frac{(2-1)(2)}{2} = 2\].

Таким образом, ответ для \(n = 2\) равен \(1 \cdot 2 = 2\).