Для данных функций на указанных интервалах найдите минимальное и максимальное значения: 1) y=-6x+x²+13 на интервале

Zhuzha

30

Давайте рассмотрим каждую задачу по отдельности.

1) Для начала вычислим значения функции на концах интервала, то есть при \(x = 0\) и \(x = 6\). Подставим эти значения в функцию:
\[y(0) = -6 \cdot 0 + 0^2 + 13 = 13\]
\[y(6) = -6 \cdot 6 + 6^2 + 13 = 49\]
Теперь найдем вершину параболы, которая соответствует минимальному или максимальному значению функции. Для этого воспользуемся формулой для координат вершины параболы \(x = -\frac{b}{2a}\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты уравнения параболы вида \(ax^2 + bx + c\). В нашем случае \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 13\), поэтому:
\[x = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3\]
Теперь найдем значение функции при \(x = 3\):
\[y(3) = -6 \cdot 3 + 3^2 + 13 = -18 + 9 + 13 = 4\]
Минимальное значение функции на заданном интервале равно 4, а максимальное значение равно 49.

2) Аналогично, вычислим значения функции на концах интервала:
\[y(1) = \frac{1}{2} \cdot 1^2 - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\]
\[y(3) = \frac{1}{2} \cdot 3^2 - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{3} = \frac{9}{2} - \frac{1}{3} = \frac{25}{6}\]
Как и в предыдущей задаче, найдем вершину параболы при \(x = -\frac{b}{2a}\). В нашем случае \(a = \frac{1}{2}\), \(b = 0\), \(c = -\frac{1}{3}\), поэтому:
\[x = -\frac{0}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 0\]
Теперь найдем значение функции при \(x = 0\):
\[y(0) = \frac{1}{2} \cdot 0^2 - \frac{1}{3} = -\frac{1}{3}\]
Минимальное значение функции равно \(-\frac{1}{3}\), а максимальное значение равно \(\frac{25}{6}\).

3) Аналогично, для данной функции:
\[y(-4) = (-4)^3 - 3 \cdot (-4)^2 - 9 \cdot (-4) + 35 = -64 + 48 + 36 + 35 = 55\]
\[y(4) = 4^3 - 3 \cdot 4^2 - 9 \cdot 4 + 35 = 64 - 48 - 36 + 35 = 15\]
Найдем вершину параболы при \(x = -\frac{b}{2a}\). В нашем случае \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = -9\), поэтому:
\[x = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2}\]
Теперь найдем значение функции при \(x = \frac{3}{2}\):
\[y\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^3 - 3 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 9 \cdot \frac{3}{2} + 35 = \frac{27}{8} - \frac{27}{4} - \frac{27}{2} + 35 = -\frac{27}{8} + \frac{27}{4} + \frac{54}{8} + \frac{35}{1} = 35\]
Минимальное значение функции равно 15, а максимальное значение равно 55.

4) Аналогично, для данной функции:
\[y(-4) = -4 - 2 \cdot (-4)^2 + \frac{1}{3} \cdot (-4)^3 = -4 - 2 \cdot 16 - \frac{1}{3} \cdot 64 = -4 - 32 - \frac{64}{3} = -36 - \frac{64}{3} = -\frac{173}{3}\]
\[y(-1) = -1 - 2 \cdot (-1)^2 + \frac{1}{3} \cdot (-1)^3 = -1 - 2 - \frac{1}{3} = -3 - \frac{1}{3} = -\frac{10}{3}\]
Найдем вершину параболы при \(x = -\frac{b}{2a}\). В нашем случае \(a = \frac{1}{3}\), \(b = -2\), \(c = 1\), поэтому:
\[x = -\frac{-2}{2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{2}{1} = 2\]
Теперь найдем значение функции при \(x = 2\):
\[y(2) = 2 - 2 \cdot 2^2 + \frac{1}{3} \cdot 2^3 = 2 - 8 + \frac{8}{3} = -6 + \frac{8}{3} = -\frac{10}{3}\]
Минимальное значение функции равно \(-\frac{173}{3}\), а максимальное значение равно \(-\frac{10}{3}\).

5) Аналогично, для данной функции:
\[y(-3) = \frac{3}{5} \cdot (-3) - \frac{2}{5} \cdot (-3)^2 - \frac{1}{3} \cdot (-3)^3 = -\frac{9}{5} - \frac{18}{5} + \frac{27}{3} = -\frac{9}{5} - \frac{18}{5} + 9 = \frac{45}{5} - \frac{18}{5} - \frac{45}{5} = -\frac{18}{5}\]
\[y(1) = \frac{3}{5} \cdot 1 - \frac{2}{5} \cdot 1^2 - \frac{1}{3} \cdot 1^3 = \frac{3}{5} - \frac{2}{5} - \frac{1}{3} = \frac{15}{15} - \frac{6}{15} - \frac{5}{15} = \frac{4}{15}\]
Найдем вершину параболы при \(x = -\frac{b}{2a}\). В нашем случае \(a = -\frac{1}{3}\), \(b = -\frac{2}{5}\), \(c = \frac{3}{5}\), поэтому:
\[x = -\frac{-\frac{2}{5}}{2 \cdot -\frac{1}{3}} = -\frac{\frac{2}{5}}{-\frac{2}{3}} = \frac{\frac{6}{15}}{\frac{10}{15}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\]
Теперь найдем значение функции при \(x = \frac{3}{5}\):
\[y\left(\frac{3}{5}\right) = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} - \frac{2}{5} \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^2 - \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^3 = \frac{9}{25} - \frac{18}{25} + \frac{27}{125} = \frac{45}{125} - \frac{90}{125} + \frac{27}{125} = -\frac{18}{125}\]
Минимальное значение функции равно \(-\frac{18}{125}\), а максимальное значение равно \(-\frac{18}{5}\).

Надеюсь, ответ был понятен! Если остались вопросы, не стесняйтесь спрашивать.