Для каких значений a выражение a^3 − 3a^2 + a − 3 будет равно нулю? Если есть несколько корней, запишите меньший

Margarita

56

Хорошо! Для решения этой задачи, нам нужно найти значения \(a\), при которых выражение \(a^3 - 3a^2 + a - 3\) равно нулю. Давайте посмотрим, как мы можем это сделать.

Для начала, мы можем попробовать разложить данное выражение на множители, чтобы найти его корни. Если мы сможем найти корни, при подстановке их значения в выражение мы должны получить ноль. Так что давайте попробуем это сделать.

Мы можем произвести факторизацию данного выражения следующим образом:

\[ a^3 - 3a^2 + a - 3 = (a-3)(a^2+1) \]

Получается, что выражение можно представить в виде произведения двух множителей: \( (a-3) \) и \( (a^2+1) \).

Теперь, чтобы найти значения \( a \), при которых выражение равно нулю, необходимо рассмотреть каждый из множителей.

1) Множитель \( (a-3) \) равен нулю, когда \( a = 3 \).

2) Множитель \( (a^2+1) \) не имеет действительных корней, так как является суммой квадрата неотрицательного числа (\( a^2 \)) и 1, что всегда больше либо равно 1.

Таким образом, уравнение \( a^3 - 3a^2 + a - 3 = 0 \) имеет только один корень, равный \( a = 3 \).

Итак, меньший корень этого уравнения равен \( a = 3 \).