Для каких значений натурального числа n выражение n^4-2n^3+23n^2-22n+16 является полным квадратом?

Chudesnaya_Zvezda

11

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Мы хотим найти значения натурального числа \( n \), для которых выражение \( n^4 - 2n^3 + 23n^2 - 22n + 16 \) является полным квадратом.

Для начала, давайте запишем выражение в форме полного квадрата. Выражение \( n^4 - 2n^3 + 23n^2 - 22n + 16 \) является суммой пяти слагаемых:

\[ n^4 - 2n^3 + 23n^2 - 22n + 16 = (n^4 - 2n^3 + n^2) + (22n^2 - 22n + 16) = n^2(n^2 - 2n + 1) + 22(n^2 - n + 1) \]

Для того чтобы выражение было полным квадратом, каждое слагаемое должно быть полным квадратом.

Рассмотрим первое слагаемое: \( n^2(n^2 - 2n + 1) \). Мы замечаем, что это произведение двух слагаемых, где первое слагаемое \( n^2 \) уже является полным квадратом. Теперь нам нужно убедиться, что второе слагаемое, \( (n^2 - 2n + 1) \), тоже является полным квадратом.

Но это выражение, похоже на квадрат разности \( (a - b)^2 \), где \( a = n^2 \) и \( b = 1 \). Вспомним, что квадрат разности равен \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \). Применяя эту формулу, получим:

\[ (n^2 - 2n + 1) = n^2 - 2n + 1^2 = (n - 1)^2 \]

Теперь у нас есть первое слагаемое в форме полного квадрата: \( n^2(n^2 - 2n + 1) = n^2(n - 1)^2 \).

Рассмотрим второе слагаемое: \( 22(n^2 - n + 1) \). Чтобы это было полным квадратом, само выражение \( (n^2 - n + 1) \) должно быть полным квадратом, умноженным на 22.

Однако, \( (n^2 - n + 1) \) не является полным квадратом для любого \( n \). Мы можем убедиться в этом, рассмотрев примеры. Попробуем подставить несколько значений для \( n \):

- При \( n = 1 \): \( (1^2 - 1 + 1) = 1 \). Не является полным квадратом.
- При \( n = 2 \): \( (2^2 - 2 + 1) = 3 \). Не является полным квадратом.
- При \( n = 3 \): \( (3^2 - 3 + 1) = 7 \). Не является полным квадратом.

Мы видим, что выражение \( (n^2 - n + 1) \) никогда не является полным квадратом для натуральных чисел \( n \).

Таким образом, у нас нет таких значений натурального числа \( n \), для которых выражение \( n^4 - 2n^3 + 23n^2 - 22n + 16 \) является полным квадратом.